AnalyseNotion · Glossaire
Maximum local
Un maximum local d'une fonction f est un point c tel que f(c) est supérieur ou égal à f(x) pour tout x dans un voisinage de c. Si l'inégalité est stricte, on parle de maximum local strict. Si c est intérieur au domaine et si f est dérivable dans un voisinage ouvert de c, un maximum local en c est nécessairement un point critique (où la dérivée s'annule), mais la réciproque est fausse. Le critère du second ordre pour les fonctions de plusieurs variables utilise la hessienne : si la hessienne est définie négative en un point critique, c'est un maximum local strict.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Interpréter le mot local comme une comparaison limitée à un voisinage du domaine.
- Vérifier un maximum strict sur la fonction f(x) = 4 − (x − 2)².
- Distinguer maximum local, maximum global, point critique et minimum local.
- Appliquer le critère de la dérivée seconde et celui de la hessienne définie négative.
- Reconnaître les cas où ces critères restent indécis ou ne s'appliquent pas.
En clair
Imaginez une route de montagne : au sommet d'une bosse, toute petite avancée vers la gauche ou la droite fait perdre de l'altitude. Ce sommet représente un maximum local. Il domine les points assez proches, même si une montagne plus haute existe ailleurs.
Le mot « local » est donc essentiel. Pour la courbe de la fonction f définie par f(x) = 4 − (x − 2)2, la valeur 4 atteinte lorsque x vaut 2 dépasse toutes les valeurs voisines, et même toutes celles de cette fonction.
Définition
Soit une fonction f définie sur un domaine D et un point c de ce domaine. Le point c est un maximum local s'il existe un intervalle ouvert centré en c dans lequel aucune valeur de f, parmi les points appartenant à D, ne dépasse f(c). En notant ε un nombre strictement positif :
Le maximum local est strict si f(x) < f(c) pour tout point x distinct de c dans ce voisinage.
Si c est intérieur à D et si f est dérivable en c, un maximum local impose f′(c) = 0 : c est alors un point critique. Cette condition est seulement nécessaire. Une dérivée nulle peut aussi correspondre à un minimum ou à un point sans extremum. En une variable, si f est deux fois dérivable près de c, les conditions f′(c) = 0 et f″(c) < 0 suffisent pour obtenir un maximum local strict.
Pour une fonction de plusieurs variables, la matrice hessienne rassemble les dérivées partielles secondes. Si la fonction est de classe C2 près d'un point critique et si sa hessienne y est définie négative, alors ce point est un maximum local strict. « Définie négative » signifie que, pour tout vecteur non nul v, la forme quadratique associée est négative : .
Un exemple, pas à pas
On étudie la fonction f définie sur les nombres réels par f(x) = 4 − (x − 2)2. Les données utiles sont le point candidat c = 2, la valeur f(2) = 4 et la dérivée f′(x) = −2(x − 2).
1. On cherche d'abord les points critiques : f′(x) = 0 équivaut à −2(x − 2) = 0. L'unique candidat est donc x = 2.
2. La dérivée seconde vaut f″(x) = −2 pour tout x. Comme f″(2) < 0, le critère du second ordre établit que x = 2 est un maximum local strict.
3. Le calcul direct confirme et renforce le verdict : pour tout réel x distinct de 2, le carré (x − 2)2 est strictement positif, donc f(x) < 4 = f(2). Le maximum est ici également global.
La courbe calculée sur l'intervalle [−1 ; 5] rend visible ce contrôle : elle atteint le point (2 ; 4), puis descend des deux côtés. On peut refaire la vérification avec x = 1 et x = 3 : dans les deux cas, f(x) = 3, valeur inférieure à 4.
En pratique
Sur le graphe d'une fonction d'une variable, on repère d'abord un sommet par rapport aux points voisins. Si la courbe est dérivable, on confirme le candidat en étudiant le signe de la dérivée de part et d'autre ou la dérivée seconde. Le changement de signe de positif à négatif reste utilisable lorsque f″(c) = 0.
Dans un problème d'optimisation, un maximum local décrit une solution qu'aucune petite modification admissible n'améliore. Il faut comparer les valeurs sur tout le domaine pour revendiquer un maximum global ; le seul examen des variations proches ne suffit pas.
Pour plusieurs variables, aux points intérieurs du domaine où la fonction est différentiable, on annule d'abord le gradient, puis on étudie la hessienne au point obtenu. Les contraintes et les bords se traitent séparément. Une hessienne définie négative conclut immédiatement. Si elle possède une valeur propre nulle, le test est indécis : un développement d'ordre supérieur ou une étude directe devient nécessaire.
À ne pas confondre
Maximum local et maximum global. Le premier domine seulement les valeurs d'un voisinage ; le second domine celles de tout le domaine. Une courbe à deux bosses peut donc avoir deux maxima locaux, mais une seule hauteur globale si leurs sommets diffèrent.
Maximum local et point critique. Pour une fonction dérivable en un point intérieur, tout maximum local est critique, mais tout point critique n'est pas maximal. La fonction x ↦ x3 a une dérivée nulle en 0 tout en restant croissante de part et d'autre.
Maximum local et minimum local. Au voisinage d'un maximum, les valeurs sont inférieures ou égales à celle du point ; au voisinage d'un minimum, elles sont supérieures ou égales. Ainsi, x ↦ x2 possède un minimum local en 0, pas un maximum.
Limites et pièges
Bord du domaine. L'annulation de la dérivée ne s'impose qu'en un point intérieur où la fonction est dérivable. Sur [0 ; 1], la fonction x ↦ x atteint un maximum en 1 alors que sa dérivée vaut 1. Au bord, il faut comparer les valeurs dans le voisinage relatif au domaine.
Palier. Une fonction constante sur un intervalle donne un maximum local non strict en chaque point de cet intervalle. Le symptôme est l'égalité f(x) = f(c) pour des points voisins distincts. Il faut alors renoncer au qualificatif « strict ».
Dérivée seconde nulle. Le test du second ordre ne conclut pas lorsque f′(c) = 0 et f″(c) = 0. Les fonctions x ↦ −x4 et x ↦ x4 ont ces mêmes valeurs en 0, mais la première y a un maximum et la seconde un minimum. Il faut étudier le signe ou un ordre supérieur.
Hessienne non définie négative. Une hessienne définie négative est un critère suffisant, pas la seule forme possible d'un maximum. Une hessienne seulement semi-définie négative rend le test indécis ; une hessienne indéfinie signale au contraire des directions de hausse et de baisse. Il faut examiner les termes d'ordre supérieur ou des directions particulières.
Pour aller plus loin
La fiche point critique précise pourquoi l'annulation de la dérivée fournit des candidats, sans garantir à elle seule un maximum local.
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