Extremum

Imaginez une courbe qui descend, atteint le fond d’une vallée, puis remonte. Le point le plus bas de cette vallée donne un minimum local : autour de lui, toutes les valeurs sont plus hautes. Un sommet joue le rôle inverse et donne un maximum local.

Le mot « local » limite la comparaison aux points voisins. Pour parler d’un extremum global, il faut comparer la valeur à toutes celles que la fonction peut prendre sur son domaine.

Soit une fonction f définie sur un domaine D, et soit x₀ un point de ce domaine. La fonction admet un maximum local en x₀ s’il existe un voisinage V de x₀ tel que $\mathrm{\forall }x\in D\cap V,f(x_0)\ge f(x)\backslash forall\; x\backslash in\; D\backslash cap\; V,\backslash \; f(x\_0)\backslash ge\; f(x)$. Pour un minimum local, l’inégalité est inversée. La valeur f(x₀) est l’extremum ; par usage, le point x₀ est aussi souvent appelé extremum.

Le maximum ou le minimum est global lorsque la comparaison vaut pour tout point x du domaine D, et non plus seulement dans un voisinage. Un extremum global est donc local, tandis qu’un extremum local n’est pas nécessairement global. Plusieurs points peuvent atteindre la même valeur extrême.

Si f est dérivable et si x₀ est intérieur au domaine, un extremum local impose f′(x₀) = 0 : x₀ est alors un point critique. Cette condition est nécessaire, mais elle ne suffit pas. Si f est deux fois dérivable au voisinage d'un point intérieur x₀ tel que f′(x₀) = 0, alors f″(x₀) > 0 assure un minimum local strict et f″(x₀) < 0 un maximum local strict. Lorsque f″(x₀) = 0, le test ne conclut pas. Pour une fonction de plusieurs variables de classe C² au voisinage d'un point intérieur x₀ tel que ∇f(x₀) = 0, la matrice hessienne fournit le test du second ordre : définie positive, elle assure un minimum local strict ; définie négative, un maximum local strict.

On étudie sur l’ensemble des nombres réels la fonction f qui associe à x la valeur x² − 4x + 3. Données : son domaine est ℝ ; sa dérivée est f′(x) = 2x − 4 ; sa dérivée seconde est f″(x) = 2.

1. Cherchons les points critiques : f′(x) = 0 donne 2x − 4 = 0, donc x = 2.

2. Au point x = 2, la dérivée seconde vaut 2, un nombre strictement positif. Le test du second ordre établit donc un minimum local strict.

3. Calculons sa valeur : f(2) = 2² − 4 × 2 + 3 = −1. En réécrivant f(x) = (x − 2)² − 1, on obtient toujours f(x) ≥ −1. Le minimum est donc aussi global.

Le contrôle est refaisable avec deux valeurs voisines : f(1) = 0 et f(3) = 0, toutes deux supérieures à −1. Le graphe de cette parabole montre la décroissance jusqu’à x = 2, puis la croissance au-delà.

Pour étudier une fonction dérivable d’une variable, on cherche d’abord les points où la dérivée s’annule ou n’existe pas. On ajoute les bords du domaine, puis on compare les valeurs. Le tableau de variations reste préférable lorsque le seul test de la dérivée seconde ne conclut pas.

Dans un problème de coût, de durée ou de rendement, l’extremum traduit le meilleur choix parmi les valeurs admissibles. Si l’équation de la dérivée ne se résout pas exactement, une méthode numérique fournit des candidats qu’il faut encore contrôler sur le domaine.

Avec plusieurs variables, on annule le gradient puis on étudie la hessienne. En présence d’une contrainte, ce calcul seul ne suffit plus : il faut aussi traiter la frontière ou employer une méthode adaptée aux contraintes.

Extremum et point critique. Un extremum intérieur d’une fonction dérivable est un point critique, mais la réciproque est fausse. Pour la fonction f(x) = x³, la dérivée s’annule en 0 alors que les valeurs passent des nombres négatifs aux nombres positifs : 0 n’est ni un maximum ni un minimum.

Maximum et borne supérieure. Un maximum doit être atteint par la fonction ; une borne supérieure peut ne jamais l’être. Sur l’intervalle ouvert ]0, 1[, la fonction f(x) = x a 1 pour borne supérieure, mais aucun maximum puisque x ne peut pas valoir 1.

Un extremum au bord peut avoir une dérivée non nulle. Sur [0, 1], la fonction f(x) = x atteint son minimum global en 0 et son maximum global en 1. Le critère f′(x₀) = 0 concerne les points intérieurs ; il faut donc toujours examiner les bornes du domaine.

Une dérivée seconde nulle ne donne aucun verdict. En 0, les fonctions x⁴, −x⁴ et x³ ont toutes une dérivée première et une dérivée seconde nulles. Elles présentent respectivement un minimum, un maximum et aucun extremum. Il faut étudier le signe de la dérivée ou un ordre supérieur.

Une hessienne seulement semi-définie laisse le test indécis. Au point (0, 0), les fonctions de deux variables x² + y⁴ et x² − y⁴ ont la même hessienne semi-définie positive. La première a un minimum, la seconde un point selle : il faut revenir à l’expression complète.

Un minimum local peut être dépassé ailleurs. Le contrôle sur un voisinage ne prouve rien à l’échelle du domaine entier. Pour revendiquer un extremum global, il faut comparer tous les candidats, les frontières et, lorsque le domaine n’est pas borné, le comportement à l’infini.

point critique — Pour distinguer la condition d’annulation de la dérivée du verdict d’extremum.

Maximum local — Pour approfondir la comparaison restreinte à un voisinage.

Minimum — Pour préciser la notion de plus petite valeur atteinte.

matrice hessienne — Pour étendre le test du second ordre aux fonctions de plusieurs variables.