AnalyseNotion · Glossaire
Point stationnaire
Un point stationnaire d'une fonction différentiable est un point en lequel le gradient (ou la dérivée) s'annule. Pour une fonction d'une variable, ce sont les points où la dérivée est nulle. Les points stationnaires comprennent les maxima locaux, les minima locaux et les points cols (ou points selles). Les dérivées d'ordre supérieur, notamment la matrice hessienne pour les fonctions de plusieurs variables, peuvent aider à préciser leur nature. Si ces tests ne concluent pas, une étude directe de la fonction est nécessaire.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Reconnaître un point stationnaire par l'annulation de la dérivée ou du gradient.
- Classer deux points stationnaires par la dérivée seconde dans un exemple recalculable.
- Savoir quand la hessienne, le bord du domaine ou un cas dégénéré impose un autre contrôle.
En clair
Imaginez le profil d'une route lisse. Au sommet d'une côte ou au fond d'un creux, la route est momentanément horizontale. La pente y vaut zéro : ce lieu correspond à un point stationnaire. Un sommet ou un creux anguleux peut en revanche ne pas avoir de pente définie.
Une pente nulle n'annonce pourtant pas toujours un sommet ou un creux. La courbe peut aussi s'aplatir avant de poursuivre sa montée. Le calcul des dérivées suivantes sert alors à reconnaître la forme locale.
Définition
Soit une fonction f différentiable au voisinage d'un point intérieur a de son domaine. Le point a est stationnaire lorsque toutes les dérivées de premier ordre s'y annulent. Pour une fonction d'une variable, cela signifie f′(a) = 0. Pour une fonction de plusieurs variables, le gradient, c'est-à-dire le vecteur des dérivées partielles, doit être nul : .
Tout maximum ou minimum local situé à l'intérieur du domaine d'une fonction différentiable est stationnaire. La réciproque est fausse : l'annulation des dérivées premières fournit des candidats, pas un verdict. En une variable, le signe de f′ de part et d'autre de a ou les dérivées d'ordre supérieur précisent la nature du point.
Pour une fonction de classe C² au voisinage d'un point de plusieurs variables, la matrice hessienne rassemble les dérivées secondes. Au point stationnaire, une hessienne définie positive indique un minimum local strict, une hessienne définie négative un maximum local strict et une hessienne indéfinie un point selle. Une hessienne seulement semi-définie ou singulière ne suffit pas à conclure.
Un exemple, pas à pas
On étudie la fonction f définie sur les nombres réels par f(x) = x3 − 3x. Les données sont son expression, sa dérivée f′(x) = 3x2 − 3 et sa dérivée seconde f″(x) = 6x.
1. On cherche les abscisses où la dérivée s'annule.
Les deux solutions exactes sont x = −1 et x = 1.
2. On calcule les valeurs correspondantes : f(−1) = 2 et f(1) = −2. Les points stationnaires de la courbe sont donc (−1 ; 2) et (1 ; −2).
3. On évalue la dérivée seconde. Comme f″(−1) = −6, le point (−1 ; 2) est un maximum local strict. Comme f″(1) = 6, le point (1 ; −2) est un minimum local strict.
4. Le contrôle par le signe de f′ confirme le verdict : f′ est positive avant −1, négative entre −1 et 1, puis positive après 1. La fonction croît, décroît, puis croît de nouveau.
La courbe calculée sur l'intervalle [−2 ; 2] rend visibles les deux tangentes horizontales et les changements de sens de variation.
En pratique
Pour dresser le tableau de variations d'une fonction d'une variable, on résout d'abord f′(x) = 0. On repère ensuite les points du domaine où la dérivée n'existe pas, ainsi que les ruptures, les points exclus et les bornes pertinentes, afin de découper correctement le domaine. Seuls les points qui appartiennent au domaine peuvent porter un extremum.
En optimisation sans contrainte, le gradient nul fournit les candidats intérieurs. On examine ensuite la hessienne ou les valeurs voisines. Si le problème comporte une contrainte, ce critère seul est inadapté : il faut étudier la restriction à la contrainte ou employer un outil dédié.
Dans un calcul numérique, l'égalité exacte au gradient nul est rarement observée à cause des arrondis. On fixe une tolérance sur la norme du gradient, puis on contrôle que la valeur de la fonction et la nature du point se stabilisent.
À ne pas confondre
Point stationnaire et extremum local. Un extremum local intérieur d'une fonction différentiable est stationnaire, mais un point stationnaire n'est pas nécessairement un extremum. Pour f(x) = x3, la dérivée s'annule en 0 alors que la fonction reste croissante.
Point stationnaire et point critique. Selon une convention courante, les points critiques comprennent les points stationnaires et les points où la dérivée n'existe pas. Ainsi, la fonction valeur absolue possède un minimum en 0, mais 0 n'est pas stationnaire puisque la dérivée n'y est pas définie.
Point stationnaire et point fixe. Un point fixe vérifie f(a) = a, tandis qu'un point stationnaire vérifie f′(a) = 0 en une variable. Pour f(x) = x2, 1 est fixe mais non stationnaire, alors que 0 possède les deux propriétés.
Limites et pièges
Dérivée seconde nulle. Si f′(a) = 0 et f″(a) = 0, le test de la dérivée seconde est muet. Pour f(x) = x4, 0 est un minimum local ; pour f(x) = x3, 0 ne l'est pas. Il faut étudier le signe de f′, un développement local ou une dérivée d'ordre supérieur.
Bord du domaine. Un maximum ou un minimum atteint à une borne n'a pas à être stationnaire. Sur l'intervalle [0 ; 1], la fonction f(x) = x atteint ses extrema aux deux bornes, bien que sa dérivée vaille constamment 1. Les bornes doivent être testées séparément.
Hessienne non concluante. En plusieurs variables, une hessienne singulière ou seulement semi-définie peut correspondre à des comportements différents. Le symptôme est la présence d'une valeur propre nulle. Il faut alors examiner des termes d'ordre supérieur ou la fonction le long de plusieurs directions.
Ensemble continu de points stationnaires. Les solutions du gradient nul ne sont pas toujours isolées. Pour f(x, y) = x2, tous les points de la droite x = 0 sont stationnaires et minimisent localement la fonction. Il faut décrire l'ensemble des solutions au lieu d'annoncer un point unique.
Pour aller plus loin
La matrice hessienne prolonge l'étude en plusieurs variables : ses valeurs propres permettent de classer de nombreux points stationnaires non dégénérés.
La notion d'extremum replace ces candidats dans l'étude des valeurs maximales et minimales, notamment lorsque les bornes du domaine doivent aussi être examinées.
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