Hesse Otto

En 1840, à Königsberg, Otto Hesse étudie les points communs à trois surfaces du second ordre. Son travail se situe au croisement des équations et de la géométrie : des coefficients algébriques servent à décrire des formes et leurs rencontres.

Cette manière de faire éclaire l'héritage attaché à son nom. Pour une fonction de plusieurs variables, la matrice hessienne rassemble les variations de la pente. Elle aide notamment à reconnaître la forme locale d'une surface près d'un point.

Ludwig Otto Hesse (1811-1874) est un mathématicien allemand formé à Königsberg sous l'influence de Jacobi et de Bessel. Sa thèse de 1840 étudie des surfaces algébriques, en particulier les huit points d'intersection de trois surfaces du second ordre. Il enseigne ensuite à Königsberg, Halle et Heidelberg.

Ses recherches portent sur les fonctions algébriques et les invariants algébriques. Son nom subsiste dans la courbe de Hesse, la forme normale de Hesse, le déterminant de Hesse et la matrice de Hesse, aussi appelée matrice hessienne. Pour une fonction réelle f de deux variables x et y, deux fois dérivable, cette dernière réunit les dérivées partielles secondes : Lorsque les dérivées secondes mixtes sont continues, les deux termes hors diagonale sont égaux.

Parmi les élèves cités de Hesse figurent Gustav Kirchhoff, Carl Neumann, Ernst Schröder, Heinrich Weber, Olaus Henrici et Max Noether. Ses ouvrages mentionnés comprennent Die Determinanten elementar behandelt (1872) et Vorlesungen über analytische Geometrie des Raumes (1876).

Considérons la fonction f définie par $f(x,y)=x^2+xy+y^{2}f(x,y)=x^2+xy+y^2$ et le point de coordonnées (0, 0). Les données sont les deux variables réelles x et y, les trois termes quadratiques de f et le point où l'on veut décrire la surface.

1. Les dérivées premières valent $\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }x}=2x+y\backslash frac\{\backslash partial\; f\}\{\backslash partial\; x\}=2x+y$ et $\frac{\mathrm{\partial }f}{\mathrm{\partial }y}=x+2y\backslash frac\{\backslash partial\; f\}\{\backslash partial\; y\}=x+2y$. Elles s'annulent toutes deux en (0, 0) : ce point est critique.

2. Les quatre dérivées secondes donnent une matrice constante :

3. Son premier terme diagonal vaut 2, donc il est positif. Son déterminant vaut exactement 2 × 2 − 1 × 1 = 3, lui aussi positif. La matrice est donc définie positive.

4. La fonction admet ainsi un minimum local strict en (0, 0), de valeur 0. Le contrôle est direct : $x^2+xy+y^2=\frac{1}{2}(x+y{)}^2+\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{2}{y}^{2}x^2+xy+y^2=\backslash frac12(x+y)^2+\backslash frac12x^2+\backslash frac12y^2$, expression positive dès que (x, y) diffère de (0, 0). Les courbes de niveau elliptiques rendent cette conclusion visible.

Pour étudier une fonction de plusieurs variables près d'un point critique, on calcule la matrice hessienne. Si son signe permet de conclure, elle distingue notamment un minimum local, un maximum local ou un point selle.

Lorsque le déterminant hessien est nul, ce test ne suffit plus. Il faut alors examiner directement la fonction, utiliser des termes d'ordre supérieur ou choisir des directions particulières autour du point.

En géométrie algébrique, l'héritage de Hesse ne se réduit pas à ce calcul d'analyse. La courbe de Hesse et la forme normale de Hesse signalent d'autres contextes ; le nom commun indique une origine historique, non un objet unique.

La matrice hessienne est le tableau complet des dérivées secondes d'une fonction. Le déterminant hessien est le nombre obtenu en prenant le déterminant de ce tableau. Dans l'exemple, la matrice est Son déterminant vaut 3.

Les objets portant le nom de Hesse ne sont pas interchangeables. Une question sur la forme normale, une courbe algébrique ou les variations locales d'une fonction appelle respectivement l'objet correspondant, même si leur dénomination rappelle le même mathématicien.

La matrice hessienne ne classe un extremum par ce test qu'en un point critique, où toutes les dérivées premières s'annulent. Dans l'exemple, appliquer le même verdict en (1, 1) serait incorrect : le gradient y vaut (3, 3), et ce point n'est pas critique.

Un déterminant hessien nul est un cas charnière : le test du second ordre devient indécis. Ce résultat ne prouve ni l'existence ni l'absence d'un extremum ; il faut revenir à la fonction ou étudier des termes d'ordre supérieur.

L'égalité des deux dérivées secondes mixtes ne doit pas être supposée sans condition. Elle est garantie dans le cadre utilisé ici lorsque ces dérivées sont continues près du point étudié.

La fiche matrice hessienne approfondit le calcul des dérivées secondes et la lecture locale d'une fonction de plusieurs variables.