AnalysePersonnage · Glossaire
notation de Monge
Les notations de Monge permettent d’étudier localement une fonction f de classe C2 de ℝ2 dans ℝ, près d’un point critique (x0, y0) où les deux dérivées partielles premières s’annulent. On évalue au même point les dérivées secondes notées R, S et T, puis on calcule le discriminant . Si S2 − RT < 0, le point est un minimum local lorsque R > 0 et un maximum local lorsque R < 0. Si S2 − RT > 0, c’est un point selle, ou col. Si S2 − RT = 0, une étude locale complémentaire est nécessaire.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier les trois dérivées secondes notées R, S et T.
- Calculer le discriminant S² − RT sur un exemple complet.
- Distinguer minimum, maximum, point selle et cas indéterminé.
En clair
Imaginez le graphe d’une fonction de deux variables comme un paysage. À un endroit où la pente est nulle dans les deux directions, le terrain peut former une cuvette, un sommet ou un col. Les notations de Monge observent alors trois courbures locales : dans la première direction, dans la seconde et dans leur variation commune. Leur combinaison indique quelle forme le paysage prend tout près de ce point.
Définition
Les notations de Monge forment un critère de classification locale pour une fonction f de deux variables, de classe C2. Elles s’emploient en un point critique de coordonnées (x0, y0), où les deux dérivées partielles premières sont nulles.
La dérivée seconde par rapport à la première variable, évaluée au point critique, est notée R. La dérivée seconde mixte est notée S, et la dérivée seconde par rapport à la seconde variable est notée T. Le discriminant de Monge est alors .
Si ce discriminant est négatif, le point est un minimum local lorsque R est positif, et un maximum local lorsque R est négatif. S’il est positif, le point est un point selle, aussi appelé col. S’il est nul, le critère ne conclut pas : des termes d’ordre supérieur ou une autre étude locale sont nécessaires.
Où on le rencontre
On rencontre ces notations dans l’étude d’une surface donnée par une fonction de deux variables. Le contexte présente généralement une fonction f, un point de coordonnées (x0, y0) et deux dérivées premières qui s’y annulent. Les trois lettres R, S et T apparaissent ensuite à côté des dérivées secondes. Enfin, une comparaison de signes conduit aux mots « minimum », « maximum » ou « point selle ». Ce dispositif décrit seulement la forme de la surface au voisinage du point étudié.
Le mode d'emploi
La grandeur à lire est le signe du discriminant formé avec les trois dérivées secondes, toutes évaluées au même point critique.
1. On vérifie d’abord que les deux dérivées premières s’annulent au point choisi.
2. On calcule R, S et T à ce point, sans mélanger expressions générales et valeurs évaluées.
3. On forme .
4. On lit le signe de ΔM, puis celui de R uniquement lorsque ΔM est négatif.
2. On calcule R, S et T à ce point, sans mélanger expressions générales et valeurs évaluées.
3. On forme .
4. On lit le signe de ΔM, puis celui de R uniquement lorsque ΔM est négatif.
Une surface peut sembler plate sur un dessin alors que ses courbures secondes ne sont pas nulles. Le bon réflexe consiste à suivre les calculs au point critique : l’apparence dépend de l’angle de vue, tandis que le critère repose sur les dérivées.
Un exemple, pas à pas
Considérons la fonction au point (0, 0). Les données sont les dérivées premières 2x + 2y et 2x + 6y, puis les dérivées secondes R = 2, S = 2 et T = 6.
1. Au point (0, 0), les deux dérivées premières valent 0. Le point est donc critique.
2. Le discriminant de Monge vaut . Il est strictement négatif.
3. Comme R = 2 est positif, le point (0, 0) est un minimum local. La valeur minimale locale est f(0, 0) = 0.
Le contrôle est direct : , avec égalité seulement pour x = 0 et y = 0. Les courbes de niveau de cet exemple forment des ellipses emboîtées autour du minimum, ce qui rend visible la conclusion du calcul.
En pratique
Pour étudier un point critique isolé d’une fonction explicite, on calcule R, S et T puis le discriminant de Monge. Cette voie est préférable à la seule lecture d’un graphe lorsque la perspective masque la courbure locale.
Lorsque le discriminant est non nul, le critère donne immédiatement le type local du point. Il évite alors de comparer la fonction sur de nombreuses directions choisies au hasard.
Lorsque le discriminant est nul, on abandonne cette classification automatique. On examine directement la fonction près du point ou ses termes d’ordre supérieur, car les seules dérivées secondes ne tranchent plus.
À ne pas confondre
Un point critique est repéré par l’annulation des dérivées premières. Les notations de Monge interviennent ensuite pour classer ce point à l’aide des dérivées secondes. L’origine (0, 0) de l’exemple est critique avant même le calcul de −8.
La matrice hessienne rassemble les dérivées secondes dans une matrice. Les notations de Monge nomment trois de ses coefficients en dimension deux et utilisent S2 − RT, qui est l’opposé de son déterminant.
Un point selle n’est ni un minimum ni un maximum local. Il se reconnaît ici lorsque S2 − RT est positif : la fonction augmente dans certaines directions et diminue dans d’autres.
Limites et pièges
Le cas charnière est S2 − RT = 0. Ce résultat ne prouve ni minimum, ni maximum, ni point selle. Il signale seulement que le test du second ordre est insuffisant ; il faut étudier plus finement la fonction près du point.
Le critère suppose que la fonction est de classe C2 au voisinage du point. Sans cette régularité, les dérivées secondes nécessaires peuvent manquer ou ne pas fournir le cadre annoncé ; on revient alors à la définition locale de l’extremum.
Il faut évaluer R, S et T au même point critique. Employer les expressions des dérivées secondes sans y substituer les coordonnées peut donner un signe dépendant encore de x et y, donc aucun verdict sur le point visé.
Pour aller plus loin
Le glossaire point critique précise la condition préalable que les notations de Monge cherchent ensuite à exploiter.
La fiche matrice hessienne replace R, S et T dans l’objet matriciel qui rassemble les dérivées secondes.
La notion de Dérivée partielle permet de revoir le calcul dont sont issues les trois valeurs de Monge.
Explorez les mathématiques autrement
Retrouvez nos magazines, podcasts et jeux pour explorer les mathématiques autrement.
Découvrir les offres