AnalyseNotion · Glossaire
Point col
Un point col, ou point selle, d'une fonction de plusieurs variables est un point critique qui n'est ni un maximum ni un minimum local. Dans le modèle classique en forme de selle, la fonction présente un minimum dans certaines directions et un maximum dans d'autres, mais cette image ne décrit pas tous les points cols dégénérés. Formellement, dans tout voisinage d'un point col, la fonction prend à la fois des valeurs supérieures et inférieures à sa valeur en ce point. Une matrice hessienne indéfinie fournit un critère suffisant dans le cas non dégénéré. Les points cols jouent un rôle important en optimisation, en théorie des jeux et dans la méthode du col pour les estimations asymptotiques.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Reconnaître l’intuition d’une surface qui monte dans une direction et descend dans une autre.
- Vérifier qu’un candidat est critique en annulant son gradient.
- Utiliser une hessienne indéfinie pour certifier un point col non dégénéré.
- Refaire le calcul complet pour la fonction f(x,y)=x²−y².
- Traiter un cas dégénéré où la hessienne ne permet pas de conclure.
En clair
Imaginez une selle posée autour d’un point central. En avançant dans un sens, la surface remonte ; en tournant d’un quart de tour, elle redescend. Dans ce modèle classique, deux coupes passant par le même point révèlent donc des comportements opposés ; c’est une image intuitive, qui ne représente pas tous les points cols dégénérés.
Ce centre est l’image d’un point col, aussi appelé point selle. La pente y est nulle, mais le point n’est ni le sommet ni le fond du paysage : des valeurs plus grandes et plus petites subsistent tout près.
Définition
Soit une fonction f de deux variables réelles x et y, dérivable au voisinage d’un point de coordonnées (a,b). Ce point est critique lorsque les deux dérivées partielles s’y annulent, autrement dit lorsque son gradient est nul : . Il s’agit d’un point col si, dans tout voisinage de (a,b), la fonction prend à la fois des valeurs supérieures et inférieures à f(a,b). Le point n’est donc ni un maximum local ni un minimum local.
Lorsque f possède des dérivées secondes continues, sa matrice hessienne rassemble les dérivées secondes par rapport à x et y. Si cette matrice est indéfinie, sa forme quadratique est positive dans certaines directions et négative dans d’autres. À un point critique, ce critère suffit pour conclure à un point col. En dimension deux, une hessienne de déterminant strictement négatif est indéfinie.
L’indéfinition de la hessienne caractérise le cas non dégénéré, mais elle n’épuise pas tous les points cols. Si la hessienne est nulle ou seulement semi-définie, les termes d’ordre supérieur peuvent encore faire apparaître des valeurs des deux signes. Le critère du second ordre devient alors muet et il faut examiner directement la fonction.
Un exemple, pas à pas
Considérons la fonction f définie par . Les données sont les variables réelles x et y, le point candidat O de coordonnées (0,0) et la valeur f(0,0)=0.
1. Calculer le gradient donne .
2. Résoudre l’annulation des deux composantes impose x=0 et y=0. Le point O est donc critique.
3. Suivre l’axe horizontal donne f(t,0)=t2 ≥ 0 : O est un minimum le long de cette direction. Suivre l’axe vertical donne f(0,t)=−t2 ≤ 0 : O est un maximum le long de cette autre direction.
4. La hessienne est :
Ses valeurs propres sont 2 et −2, donc elle est indéfinie ; son déterminant vaut −4.
Le résultat est un point col en O. Pour obtenir des points aussi proches de O que voulu, on choisit un réel t non nul de valeur absolue suffisamment petite : les points (t,0) et (0,t) donnent respectivement une valeur positive et une valeur négative.
En pratique
En optimisation, l’annulation du gradient ne suffit pas à annoncer un optimum. On calcule la hessienne : si elle est indéfinie, on écarte le point col au lieu de le retenir comme maximum ou minimum local.
Si la hessienne ne tranche pas, on compare des trajectoires passant par le point. Pour f(x,y)=x2−y2, les axes révèlent immédiatement une hausse et une baisse ; une seule coupe aurait donné un diagnostic trompeur.
En théorie des jeux et dans la méthode du col pour les estimations asymptotiques, on cherche précisément une structure qui n’est pas extrémale dans toutes les directions. Le geste commun consiste à séparer les directions de hausse et de baisse.
À ne pas confondre
Un point critique vérifie seulement l’annulation du gradient. Pour f(x,y)=x2+y2, l’origine est critique et constitue pourtant un minimum local, pas un point col.
Un minimum local ne possède aucune valeur plus petite dans un voisinage assez resserré. Au point col de f(x,y)=x2−y2, l’axe vertical fournit au contraire des valeurs négatives proches de 0.
Un maximum local ne possède aucune valeur plus grande dans un voisinage assez resserré. Le même point col échoue à ce test, car l’axe horizontal fournit des valeurs positives proches de 0.
Limites et pièges
Gradient nul, verdict ouvert. Le symptôme est un point critique pris trop vite pour un col. Il faut tester la hessienne ou comparer les valeurs voisines : un gradient nul peut aussi signaler un maximum ou un minimum local.
Hessienne indéfinie, critère concluant. En dimension deux, un déterminant strictement négatif impose deux signes opposés et certifie le point col au point critique. Un déterminant nul ne certifie rien ; il faut étudier des termes d’ordre supérieur ou des trajectoires.
Col dégénéré. Pour g(x,y)=x4−y4, la hessienne à l’origine est la matrice nulle. Pourtant g(t,0)=t4 et g(0,t)=−t4 ont des signes opposés. Il faut donc conclure avec ces trajectoires, et non avec le seul second ordre.
Pour aller plus loin
point critique — Situer l’étape préalable : repérer les points où le gradient s’annule avant de les classifier.
Maximum local — Comparer le critère de voisinage d’un maximum avec les directions opposées d’un point col.
Méthode du gradient : skier pour minimiser — Relier la recherche de minima au paysage d’une fonction et aux points stationnaires rencontrés.
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