AnalyseObjet mathématique · Glossaire
matrice hessienne
La matrice hessienne d'une fonction numérique f définie de ℝⁿ vers ℝ est la matrice carrée d'ordre n dont le coefficient de la i-ème ligne et de la j-ème colonne est la dérivée partielle seconde ∂²f/∂x_i∂x_j, évaluée en un point (x₁, x₂, ..., xₙ). Elle rassemble ainsi l'ensemble des n² dérivées partielles secondes de f. Lorsque f est deux fois continûment différentiable, la matrice hessienne est symétrique (théorème de Schwarz). Elle joue alors un rôle central dans l'analyse des extrema locaux d'une fonction : à un point critique, le signe de ses valeurs propres renseigne sur sa nature (minimum, maximum ou point selle).
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Relier chaque entrée de la hessienne à une dérivée partielle seconde.
- Calculer la hessienne de f(x, y) = x² + xy + 2y² et vérifier son déterminant.
- Classer le point critique (0, 0) grâce aux valeurs propres 3 − √2 et 3 + √2.
- Distinguer gradient, jacobienne, hessienne ordinaire et matrice hessienne bordée.
- Reconnaître les cas où une valeur propre nulle ou un défaut de régularité empêche de conclure.
En clair
Imaginez le graphe d'une fonction de deux variables comme un relief. Près d'un point, il peut former une cuvette, une bosse ou monter dans une direction et descendre dans une autre. La matrice hessienne rassemble les courbures qui permettent de distinguer ces formes.
Ses termes diagonaux décrivent la courbure quand une seule variable change. Les autres termes mesurent comment deux variables agissent ensemble. Pour une fonction de classe C² au voisinage d'un point où la pente est nulle, la hessienne est symétrique et ses valeurs propres synthétisent ces informations : toutes positives évoquent une cuvette, toutes négatives une bosse, et des signes opposés un point selle.
Définition
Soit f une fonction réelle de n variables, définie sur un ouvert de ℝⁿ, et soit a un point où ses dérivées partielles secondes existent. La matrice hessienne de f en a est la matrice carrée dont l'entrée de ligne i et de colonne j est la dérivée de f d'abord par rapport à la variable xj, puis par rapport à xi, évaluée en a : . Elle comporte n² entrées.
Les entrées diagonales sont les dérivées secondes prises deux fois selon la même variable. Les entrées hors diagonale sont les dérivées mixtes. Si f est de classe C² au voisinage de a, le théorème de Schwarz assure l'égalité des dérivées mixtes croisées ; la hessienne est alors symétrique et ses valeurs propres sont réelles.
Si f est de classe C² au voisinage de a, pour classer un point critique a, c'est-à-dire un point où toutes les dérivées premières s'annulent, on étudie les signes des valeurs propres de Hf(a). Si elles sont toutes strictement positives, a est un minimum local strict. Si elles sont toutes strictement négatives, a est un maximum local strict. Si elles ont des signes opposés, a est un point selle. La présence d'une valeur propre nulle rend ce test du second ordre insuffisant.
De quoi c'est fait
Une hessienne dépend de quatre éléments : une fonction réelle f, ses n variables x1, …, xn, un point d'évaluation a et les n² dérivées partielles secondes. Le choix du point fixe la valeur de chaque entrée ; pour une fonction quadratique, ces entrées peuvent toutefois être constantes. Le nombre de variables fixe simultanément le nombre de lignes et de colonnes.
La diagonale rassemble les courbures selon chaque axe de coordonnées. Les positions symétriques hors diagonale portent les dérivées mixtes, qui décrivent le couplage entre deux variables. Sous l'hypothèse C², chaque paire croisée fournit la même valeur dans les deux ordres de dérivation. Cette organisation suffit à construire la forme quadratique locale , puis à calculer déterminant, valeurs propres et signe de la courbure.
Un exemple, pas à pas
Considérons la fonction de deux variables f définie par f(x, y) = x² + xy + 2y². Les données sont les coefficients 1 devant x², 1 devant xy et 2 devant y². Nous cherchons son point critique, sa hessienne et la nature de ce point.
1. Le gradient, c'est-à-dire le couple des dérivées premières, est .
2. Résoudre 2x + y = 0 et x + 4y = 0 donne y = −2x, puis −7x = 0. L'unique point critique est donc (0, 0).
3. Les quatre dérivées secondes sont constantes : . Son déterminant vaut 2 × 4 − 1 × 1 = 7 et sa trace vaut 6.
4. Les valeurs propres sont 3 − √2 et 3 + √2. Elles sont toutes deux strictement positives : la hessienne est définie positive et (0, 0) est un minimum local strict. Le contrôle direct est encore plus fort ici : f(x, y) = (x + y/2)² + 7y²/4 ≥ 0, avec égalité seulement en (0, 0). Le schéma réunit la matrice, ses valeurs propres et ce verdict.
En pratique
Pour classer un point critique d'une fonction de plusieurs variables de classe C² au voisinage de ce point, on calcule d'abord le gradient, puis la hessienne au point trouvé. Cette hessienne est symétrique et, si aucune valeur propre n'est nulle, leurs signes donnent minimum, maximum ou point selle. Si l'une vaut zéro, il faut revenir à la fonction ou étudier des termes d'ordre supérieur.
Au point critique d'une fonction de deux variables de classe C² dans son voisinage, le déterminant et la première entrée diagonale de la hessienne symétrique peuvent éviter le calcul explicite des valeurs propres. Un déterminant positif avec une première entrée positive indique un minimum strict ; avec une première entrée négative, un maximum strict. Un déterminant négatif indique un point selle.
Dans un calcul numérique d'optimisation, la hessienne décrit aussi la courbure utilisée par la méthode de Newton. Une matrice inversible permet de calculer le déplacement newtonien. Si elle est singulière ou mal conditionnée, on peut, selon le problème et l'algorithme, recourir à une méthode régularisée ou fondée seulement sur le gradient.
À ne pas confondre
Gradient. Le gradient rassemble les dérivées premières et mesure la pente. La hessienne rassemble les dérivées secondes et mesure la variation de cette pente. Pour f(x, y) = x² + xy + 2y², le gradient dépend de (x, y), tandis que la hessienne est constante.
Matrice jacobienne. La jacobienne décrit les dérivées premières d'une application éventuellement vectorielle. La hessienne concerne les dérivées secondes d'une fonction à valeurs réelles. La jacobienne du gradient de f coïncide avec la hessienne de f lorsque les dérivées nécessaires existent.
Matrice hessienne bordée. Elle ajoute à la hessienne des lignes et colonnes liées aux contraintes. Pour un extremum sans contrainte, on emploie la hessienne ordinaire ; sous une contrainte d'égalité, le test bordé répond à un autre problème.
Limites et pièges
Le point doit être critique. Une hessienne positive ne suffit pas à annoncer un minimum au point étudié. Pour g(x) = x + x², la dérivée seconde vaut 2 en 0, mais g′(0) = 1 : zéro n'est pas un point critique. Il faut vérifier le gradient avant le test du second ordre.
Une valeur propre nulle ne tranche pas. À l'origine, les fonctions x⁴ + y² et x³ + y² ont toutes deux la hessienne diagonale de valeurs 0 et 2. La première possède un minimum strict ; la seconde prend des valeurs positives et négatives. Il faut alors étudier la fonction au-delà de l'ordre deux.
La symétrie exige une hypothèse. Si f est C² au voisinage du point, les dérivées mixtes sont égales par le théorème de Schwarz. Leur simple existence au point ne garantit pas toujours cette égalité. Sans régularité suffisante, il faut calculer les deux ordres séparément au lieu de recopier une entrée.
En une variable. Pour n = 1, la hessienne est la matrice 1 × 1 contenant f″(a). On retrouve le test usuel de la dérivée seconde, avec la même indécision lorsque f″(a) = 0.
Pour aller plus loin
Dérivée partielle — Revoir comment dériver selon une variable en maintenant les autres constantes avant de former les dérivées secondes.
valeur propre — Approfondir les nombres qui résument les courbures principales et déterminent le signe d'une hessienne symétrique.
Extremum — Replacer le test hessien parmi les outils qui caractérisent minima et maxima d'une fonction.
Symétrique positive (matrice) — Relier le signe de la forme quadratique aux valeurs propres positives utilisées dans le test du minimum.
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