AlgèbreNotion · Glossaire
valeur propre
Soit f un endomorphisme d’un espace vectoriel E sur un corps K. Un scalaire λ ∈ K est une valeur propre de f s’il existe un vecteur non nul X dans E tel que f(X) = λX : son image reste sur la droite engendrée par X, avec λ comme facteur. Pour une matrice A représentant f dans une base donnée, ces valeurs se calculent comme les racines de det(A − λI) = 0, où I est la matrice identité.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Reconnaître une valeur propre par l’action sur un vecteur non nul.
- Calculer le spectre d’une matrice 2 × 2 par son polynôme caractéristique.
- Savoir quand les vecteurs propres permettent une diagonalisation.
En clair
Imaginez qu’une transformation déplace la plupart des flèches et change leur direction. Certaines flèches particulières restent pourtant sur leur droite d’origine : elles sont seulement étirées, raccourcies ou retournées.
Le nombre qui mesure cet effet est une valeur propre. Pour la matrice de notre exemple, la direction de la flèche (1, 1) est conservée et sa longueur orientée est multipliée par 3. Le nombre 3 est donc une valeur propre, et la flèche choisie dans cette direction est un vecteur propre.
Définition
Une valeur propre s’applique à un endomorphisme, c’est-à-dire une application linéaire d’un espace vectoriel vers lui-même. Notons f cet endomorphisme, E son espace vectoriel sur un corps K, et λ un scalaire de K. Le scalaire λ est une valeur propre lorsqu’il existe un vecteur X non nul tel que . Le vecteur X est alors un vecteur propre associé à λ. Tous les vecteurs propres associés à λ, auxquels on ajoute le vecteur nul, forment l’espace propre correspondant.
Dans une base donnée, si la matrice A représente f et si I est la matrice identité de même taille, les valeurs propres sont exactement les scalaires qui annulent le polynôme caractéristique :
Leur ensemble est le spectre de A. Le corps choisi compte : une matrice réelle peut ne posséder aucune valeur propre réelle, tout en ayant des valeurs propres complexes. Si une base entière de l’espace est formée de vecteurs propres, l’endomorphisme est diagonalisable. Sa matrice devient diagonale dans cette base, ce qui facilite notamment le calcul de ses puissances.
Un exemple, pas à pas
Considérons la matrice réelle A dont les lignes sont (2, 1) et (1, 2). Les données sont donc ses quatre coefficients et la matrice identité de taille 2. Nous cherchons les scalaires λ pour lesquels A transforme un vecteur non nul en un multiple de lui-même.
1. Écrivons le déterminant caractéristique.
2. Développons puis factorisons.
3. L’équation caractéristique donne deux valeurs propres : λ = 1 et λ = 3. Pour λ = 3, le vecteur (1, 1) convient, car A(1, 1) = (3, 3) = 3(1, 1). Pour λ = 1, le vecteur (1, −1) convient, car A(1, −1) = (1, −1).
Le contrôle est direct : les deux vecteurs ne sont pas colinéaires et forment donc une base de ℝ2. Dans cette base, A est diagonale, avec 3 et 1 sur la diagonale. La figure traduit exactement ces deux actions sans remplacer le calcul.
En pratique
Pour calculer une grande puissance de matrice, on cherche une base de vecteurs propres. Si une telle base existe, élever la matrice diagonale à une puissance revient à élever séparément ses valeurs propres. Si la matrice n’est pas diagonalisable, une forme triangulaire ou une forme de Jordan peut être préférable selon le corps considéré.
Pour étudier l’évolution répétée d’un système linéaire, on compare les modules des valeurs propres. Une composante associée à une valeur propre de module supérieur à 1 grandit sous les itérations, tandis qu’une composante de module inférieur à 1 décroît. Lorsque la matrice change à chaque étape, ce diagnostic spectral isolé ne suffit plus.
Pour reconnaître les directions invariantes d’une transformation, on résout ensuite le système associé à chaque valeur propre. Un calcul numérique approché est utile pour une grande matrice ; un calcul exact garde l’avantage lorsque les coefficients sont simples et qu’une factorisation vérifiable est disponible.
À ne pas confondre
Valeur propre et vecteur propre. La valeur propre est un scalaire ; le vecteur propre est un vecteur non nul. Dans notre exemple, 3 est la valeur propre, tandis que (1, 1) est l’un de ses vecteurs propres. Le type de l’objet suffit donc à trancher.
Valeurs propres et coefficients diagonaux. Les coefficients de la diagonale sont les valeurs propres pour une matrice diagonale ou triangulaire, avec leurs multiplicités. Ce n’est pas vrai pour une matrice quelconque : dans notre exemple, la diagonale vaut (2, 2), alors que le spectre vaut {1, 3}. Le polynôme caractéristique tranche.
Limites et pièges
Le vecteur nul ne compte pas. Il vérifie f(0) = λ0 pour tout scalaire λ, ce qui ferait de chaque scalaire une valeur propre. Il faut donc toujours chercher une solution non nulle.
Le corps de scalaires change le verdict. Une rotation du plan d’un quart de tour n’a aucune direction propre réelle, donc aucune valeur propre dans ℝ. Sur ℂ, son polynôme caractéristique possède deux racines. Il faut annoncer le corps avant de conclure à l’absence de valeurs propres.
Une racine répétée ne garantit pas une base propre. La multiplicité d’une valeur propre dans le polynôme caractéristique peut dépasser la dimension de son espace propre. Si le nombre total de vecteurs propres linéairement indépendants est inférieur à la dimension de l’espace, la matrice n’est pas diagonalisable.
Le spectre seul ne décrit pas toute la transformation. Deux matrices peuvent avoir les mêmes valeurs propres sans être semblables. Pour les distinguer, il faut aussi examiner leurs espaces propres et, si nécessaire, la structure de leurs blocs de Jordan.
Pour aller plus loin
Le polynôme caractéristique détaille l’équation dont les racines donnent les valeurs propres et éclaire le rôle des multiplicités.
La fiche Vecteur propre approfondit les directions conservées par une transformation linéaire et leur lien avec les espaces propres.
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