réduction de Jordan

Imaginez une transformation qui étire certains vecteurs, mais en pousse aussi quelques-uns dans la direction de leurs voisins. Changer de repère permet de ranger ces effets en petits blocs. Dans chacun, un même nombre occupe la diagonale et des 1 relient les directions successives.

Cette présentation est la forme de Jordan. Elle révèle ce qu'une simple liste de valeurs propres ne montre pas : la taille des chaînes de vecteurs qui restent liés lorsque la transformation n'est pas diagonalisable.

Soit un endomorphisme, c'est-à-dire une application linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie dans lui-même. Lorsque le corps de scalaires est algébriquement clos, il existe une base dans laquelle sa matrice est diagonale par blocs. Chaque bloc associé à une valeur propre, notée λ, a la forme suivante :

L'entier positif k désigne la taille du bloc. Les vecteurs de la base correspondante forment une chaîne de vecteurs propres généralisés. La forme de Jordan est unique à l'ordre des blocs près, même si la base de Jordan ne l'est pas. La somme des tailles des blocs associés à λ donne sa multiplicité algébrique, tandis que leur nombre donne la dimension de l'espace propre associé.

Lorsque le polynôme minimal est scindé sur le corps de base, la décomposition de Dunford écrit l'endomorphisme comme la somme d'une partie diagonalisable D et d'une partie nilpotente N qui commutent. Dans une base de Jordan, D conserve seulement les valeurs propres sur la diagonale et N conserve les 1 des sur-diagonales. La forme de Frobenius fournit, sur un corps quelconque, une forme canonique par blocs compagnons ; la forme de Jordan en est une spécialisation lorsque les polynômes concernés se scindent.

On considère l'endomorphisme de ℂ³ dont la matrice A est donnée dans la base usuelle. Ses valeurs propres sont 2, de multiplicité algébrique 2, et 3, de multiplicité 1.

1. Trouver un vecteur propre pour 2. Le noyau de A − 2I est engendré par v₁ = (1, 0, 0). Sa dimension 1 montre que A n'est pas diagonalisable.

2. Compléter la chaîne. On choisit le vecteur v₂ = (0, 1, 0). Un calcul direct donne (A − 2I)v₂ = v₁. Les deux vecteurs forment une chaîne de Jordan de longueur 2.

3. Traiter la valeur propre 3. Le vecteur w = (1, 0, 1) vérifie Aw = 3w. La famille (v₁, v₂, w) est une base de ℂ³.

Les deux chaînes obtenues rendent visibles la taille des blocs : deux vecteurs liés pour la valeur propre 2, et un vecteur isolé pour la valeur propre 3.

4. Écrire la matrice réduite. Dans cette nouvelle base, la matrice devient :

5. Contrôler. La matrice de passage P a pour colonnes v₁, v₂ et w. Le calcul P⁻¹AP = J confirme le résultat. Le bloc de taille 2 explique exactement pourquoi la valeur propre 2 ne fournit qu'un seul vecteur propre indépendant.

Pour classer une transformation linéaire à changement de base près, on compare ses valeurs propres et les tailles de ses blocs. Deux matrices complexes sont semblables exactement lorsque leurs formes de Jordan coïncident, à l'ordre des blocs près.

Pour calculer des puissances ou une exponentielle de matrice de façon symbolique, on traite chaque bloc séparément. Si tous les blocs ont taille 1, la diagonalisation suffit ; sinon, la partie nilpotente produit un nombre fini de termes supplémentaires.

Pour étudier un système différentiel linéaire exact, la longueur des chaînes indique les facteurs polynomiaux qui accompagnent les exponentielles. Avec des données numériques arrondies, on préfère généralement une décomposition de Schur, plus stable que le calcul d'une forme de Jordan.

Diagonalisation. Elle exige une base entière de vecteurs propres et ne produit que des blocs de taille 1. Dans l'exemple, l'espace propre associé à 2 est de dimension 1 pour une multiplicité algébrique 2 : la diagonalisation échoue, mais la réduction de Jordan aboutit.

Décomposition de Dunford. Lorsque le polynôme minimal est scindé sur le corps de base, elle sépare l'endomorphisme en une partie diagonalisable et une partie nilpotente qui commutent. Sinon, cette décomposition peut nécessiter une extension des scalaires. La réduction de Jordan choisit en plus une base qui donne à la somme une matrice canonique par blocs.

Forme de Frobenius. Elle utilise des blocs compagnons et existe sur tout corps. Si le polynôme caractéristique ne se scinde pas dans le corps choisi, Frobenius reste disponible alors qu'une forme de Jordan dans ce corps peut ne pas exister.

Le corps compte. Sur ℂ, tout polynôme caractéristique se scinde et la forme de Jordan existe. Sur ℝ, une matrice ayant des valeurs propres non réelles n'admet pas cette forme avec seulement des scalaires réels ; il faut complexifier ou employer une forme réelle adaptée.

L'ordre n'est pas une donnée. Permuter deux blocs change leur position dans la matrice sans changer la forme canonique au sens usuel. Il faut comparer les valeurs propres et les tailles des blocs, pas leur ordre d'affichage.

La base n'est pas unique. Plusieurs chaînes de vecteurs propres généralisés peuvent conduire aux mêmes blocs. Le choix des vecteurs varie ; les tailles et multiplicités des blocs restent invariantes.

Le calcul numérique est fragile. Une perturbation arbitrairement petite peut scinder un bloc ou modifier la structure apparente des chaînes. Une matrice connue par des mesures ou des arrondis se traite avec des méthodes stables, notamment la décomposition de Schur, plutôt qu'avec une forme de Jordan supposée exacte.

La décomposition de Dunford détaille la séparation entre partie diagonalisable et partie nilpotente qui sous-tend les blocs de Jordan.

La fiche sur la valeur propre précise le rôle des espaces propres et des multiplicités dans la construction des chaînes.

L'endomorphisme nilpotent éclaire la partie qui crée les 1 au-dessus de la diagonale et fixe la longueur des chaînes.

Le polynôme minimal relie la taille du plus grand bloc de chaque valeur propre aux puissances nécessaires pour annuler l'endomorphisme.