diagonalisation d'une matrice

Une matrice transforme des vecteurs : elle peut les étirer, les retourner ou mélanger leurs directions. Certains vecteurs particuliers ne changent pourtant pas de direction. Ils sont seulement multipliés par un nombre.

Diagonaliser revient à choisir ces vecteurs propres comme nouveaux axes. La transformation agit alors séparément sur chaque axe, sans mélange : les nombres qui multiplient les axes se rangent sur la diagonale. Ce rangement rend des calculs répétés beaucoup plus courts.

Soit A la matrice carrée d'un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie. Elle est diagonalisable sur le corps de scalaires choisi s'il existe une base de l'espace constituée de vecteurs propres. Dans cette base, l'endomorphisme est représenté par une matrice diagonale D dont les coefficients diagonaux sont les valeurs propres associées aux vecteurs de la base.

Si P est la matrice inversible dont les colonnes sont ces vecteurs propres, rangés dans le même ordre que leurs valeurs propres dans D, alors :

Pour une matrice de taille n, cela équivaut à disposer de n vecteurs propres linéairement indépendants. Si le polynôme caractéristique se scinde sur le corps choisi et possède n racines distinctes, cette condition est automatiquement remplie. Lorsque des valeurs propres sont répétées, chaque espace propre doit avoir la même dimension que la multiplicité de la valeur dans le polynôme caractéristique. Le corps compte : une matrice réelle peut ne pas être diagonalisable sur ℝ tout en l'étant sur ℂ.

Une diagonalisation réunit quatre éléments. La matrice carrée A décrit la transformation dans la base de départ. Les valeurs propres indiquent les facteurs de multiplication sur les directions propres ; elles peuvent être négatives, nulles ou complexes. Les vecteurs propres fournissent les nouvelles directions. La matrice diagonale D rassemble les valeurs propres dans l'ordre choisi.

La matrice de passage P place les vecteurs propres en colonnes. Elle doit être inversible, ce qui traduit leur indépendance et garantit qu'ils forment une base. L'ordre des colonnes de P fixe l'ordre des coefficients de D ; permuter l'un oblige donc à permuter l'autre.

Ces données suffisent à reconstruire A par la relation A = PDP⁻¹. Elles permettent aussi, pour un entier k ≥ 0, de remplacer une puissance difficile par D^k, obtenue en élevant séparément chaque valeur propre à la puissance k. Pour k < 0, cette formule exige que A, donc D, soit inversible. Le dessin des vecteurs ou l'échelle choisie ne définit pas la diagonalisation : seules comptent les relations algébriques.

On travaille sur ℝ² et l’on cherche à diagonaliser une matrice A. Les données à déterminer sont ses valeurs propres, deux vecteurs propres indépendants, la matrice de passage P et la matrice diagonale D.

1. Calculer les valeurs propres. Le polynôme caractéristique vaut :Les valeurs propres sont donc 5 et 2.

2. Trouver les directions propres. Pour la valeur 5, on peut prendre v₁ = (1, 1). Pour la valeur 2, on peut prendre v₂ = (1, −2). Les deux vecteurs ne sont pas colinéaires, donc ils forment une base.

3. Former P et D. Les colonnes de P sont v₁ puis v₂ ; les coefficients diagonaux de D sont 5 puis 2 :

4. Diagonaliser. Le produit P⁻¹AP donne D, donc A = PDP⁻¹.

5. Exploiter le résultat. Pour calculer le cube, on remplace D par D³ :

Le contrôle se refait sans diagonalisation. Une première multiplication donne :En multipliant encore par A, on retrouve exactement la matrice A³ obtenue à l'étape 5.

Pour calculer une grande puissance exacte d'exposant entier positif, on diagonalise une fois puis on élève seulement les coefficients de D. Si la matrice n'est pas diagonalisable, une forme de Jordan peut remplacer cette méthode.

Pour résoudre un système différentiel linéaire à coefficients constants, le changement de base découple les inconnues. Chaque coordonnée propre satisfait alors une équation scalaire. Si une base propre manque, il faut tenir compte de blocs couplés.

Pour analyser l'effet d'une transformation, les valeurs propres indiquent les facteurs appliqués aux directions propres. Avec des données numériques arrondies, une décomposition de Schur est souvent préférée lorsque la base propre est mal conditionnée, car elle évite d'amplifier fortement les erreurs.

Matrice diagonale. Une matrice est diagonale lorsque ses coefficients hors diagonale sont nuls dans la base affichée. Elle est diagonalisable lorsqu'un changement de base peut la rendre diagonale. La matrice A de l'exemple n'est pas diagonale, mais elle est diagonalisable.

Trigonalisation. Elle cherche une base donnant une matrice triangulaire, condition moins exigeante que l'obtention d'une diagonale. Une matrice comportant un bloc de Jordan de taille 2 peut être triangulaire sans être diagonalisable.

Diagonalisation simultanée. Elle demande une même base propre pour plusieurs endomorphismes. Diagonaliser séparément deux matrices ne suffit pas : leurs bases propres peuvent différer.

Une valeur propre répétée ne tranche pas à elle seule. La matrice identité a une valeur propre unique et reste diagonale. À l'inverse, un bloc de Jordan 2 × 2 n'offre qu'une direction propre et ne se diagonalise pas. Il faut comparer multiplicité algébrique et dimension de l'espace propre.

Le corps de scalaires peut bloquer. La rotation réelle d'un quart de tour n'a pas de valeur propre réelle. Elle n'est donc pas diagonalisable sur ℝ, même si elle possède deux valeurs propres et une base propre après passage à ℂ.

L'ordre doit rester synchronisé. Permuter les colonnes de P sans permuter les valeurs correspondantes dans D fait échouer A = PDP⁻¹. Le contrôle direct de cette égalité repère l'erreur.

Une diagonalisation exacte peut être numériquement fragile. Si les vecteurs propres sont presque colinéaires, P est mal conditionnée et les arrondis sont amplifiés. Pour des coefficients mesurés ou approchés, on examine le conditionnement et l'on préfère au besoin une décomposition de Schur.

La fiche sur la valeur propre approfondit le calcul des espaces propres et le rôle des multiplicités dans le critère de diagonalisation.

La diagonalisation simultanée étudie la condition plus forte qui permet d'utiliser une même base propre pour plusieurs endomorphismes.