AlgèbreObjet mathématique · Glossaire
diagonalisation d'une matrice
Diagonaliser une matrice carrée représentant un endomorphisme consiste, lorsqu’il existe une base de vecteurs propres, à exprimer cet endomorphisme dans cette base : sa matrice est alors diagonale et ses coefficients diagonaux sont les valeurs propres correspondantes. Ce changement de base sépare les directions propres et simplifie notamment le calcul des puissances et la résolution de systèmes différentiels linéaires.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Relier une base de vecteurs propres aux matrices P et D.
- Diagonaliser une matrice 2 × 2 sur un exemple entièrement vérifiable.
- Reconnaître les conditions d'échec et le rôle du corps de coefficients.
En clair
Imaginez une transformation qui étire le plan. Dans les axes habituels, ses effets se mélangent : chaque coordonnée dépend de plusieurs nombres de la matrice. Certaines directions particulières ne tournent pourtant pas. Leurs vecteurs sont seulement multipliés par un nombre.
Diagonaliser la matrice revient à choisir ces directions comme nouveaux axes. Lorsque leur nombre suffit pour former une base, la transformation se lit alors comme une série d'étirements indépendants. Les facteurs d'étirement apparaissent sur la diagonale.
Définition
Soit une matrice carrée A de taille n à coefficients dans un corps choisi, par exemple les nombres réels ou complexes. Diagonaliser A signifie trouver une matrice inversible P et une matrice diagonale D telles que . Les colonnes de P sont des vecteurs propres non nuls de A. Dans le même ordre, les coefficients diagonaux de D sont les valeurs propres associées.
La matrice A est diagonalisable sur ce corps si, et seulement si, l'espace de dimension n possède une base entière de vecteurs propres de A. De façon équivalente, la somme des dimensions de ses sous-espaces propres vaut n. Une condition suffisante est que A possède n valeurs propres distinctes, mais cette condition n'est pas nécessaire.
Le corps de coefficients fait partie de l'énoncé : une matrice peut ne pas être diagonalisable sur les réels et le devenir sur les complexes. Une matrice réelle symétrique bénéficie d'un résultat plus fort : elle est diagonalisable dans une base orthonormée réelle.
De quoi c'est fait
Une diagonalisation assemble cinq éléments. La matrice carrée A décrit l'endomorphisme dans la base de départ. Une valeur propre est un nombre λ pour lequel il existe un vecteur non nul v vérifiant . Le sous-espace propre associé rassemble tous ces vecteurs, ainsi que le vecteur nul.
La matrice de passage P place en colonnes n vecteurs propres indépendants ; cette indépendance rend P inversible. La matrice D range leurs valeurs propres sur sa diagonale, dans le même ordre. Ces dépendances donnent d'abord , puis la factorisation . Elles suffisent à reconstruire A et à calculer ses puissances. La figure rend visibles les deux directions propres de l'exemple conducteur et leurs facteurs respectifs.
Un exemple, pas à pas
On considère une transformation du plan décrite par la matrice A. Les données sont ses quatre coefficients :
1. On cherche les valeurs propres en annulant le déterminant de A moins λ fois la matrice identité :
Les valeurs propres sont donc 5 et 2.
2. Pour la valeur 5, on obtient le vecteur propre v1 de coordonnées (1, 1). Pour la valeur 2, on obtient v2 de coordonnées (1, −2). Ces vecteurs ne sont pas colinéaires ; ils forment une base du plan.
3. On range les vecteurs en colonnes de P et les valeurs correspondantes dans D :
Le déterminant de P vaut −3, donc P est inversible.
4. Le contrôle se refait sans calculer l'inverse :
Chaque colonne confirme l'égalité attendue. Ainsi, .
En pratique
Pour calculer une grande puissance de A, on utilise . Élever D à la puissance entière k revient à élever séparément ses coefficients diagonaux. Si A n'est pas diagonalisable, une forme triangulaire ou la forme de Jordan peut prendre le relais.
Dans un système différentiel linéaire, le changement de coordonnées donné par P sépare des équations couplées en équations indépendantes. On préfère cette voie lorsqu'une base propre complète existe ; sinon, il faut conserver des couplages supplémentaires.
Pour une matrice réelle symétrique, on choisit une diagonalisation orthogonale : l'inverse de P est alors sa transposée. Ce choix préserve les longueurs et offre généralement une meilleure stabilité numérique qu'une base propre quelconque.
À ne pas confondre
Matrice diagonale et matrice diagonalisable. Une matrice diagonale a déjà tous ses coefficients hors diagonale nuls. Une matrice diagonalisable peut ne pas être diagonale dans la base de départ : la matrice de l'exemple possède deux coefficients hors diagonale non nuls.
Diagonalisation et triangularisation. Triangulariser demande seulement des zéros sous ou au-dessus de la diagonale. Sur les complexes, toute matrice carrée est semblable à une matrice triangulaire, tandis qu'une matrice avec un bloc de Jordan non trivial n'est pas diagonalisable.
Diagonalisation et décomposition en valeurs singulières. La première utilise une même base propre pour une application d'un espace vers lui-même. La seconde emploie deux bases orthonormées et existe aussi pour une matrice rectangulaire. Une matrice carrée non diagonalisable possède tout de même une décomposition en valeurs singulières.
Limites et pièges
Le corps peut changer le verdict. La matrice réelle d'une rotation d'un quart de tour n'a aucune valeur propre réelle : aucune base propre réelle n'existe. Sur les complexes, elle possède deux valeurs propres distinctes et devient diagonalisable. Il faut donc toujours préciser le corps choisi.
Une valeur propre répétée ne suffit pas à conclure. La matrice identité de taille 2 a une seule valeur propre, de multiplicité 2, mais tout vecteur non nul est propre. À l'inverse, la matrice suivante n'offre qu'une direction propre :
Il faut compter les dimensions des sous-espaces propres.
Des valeurs propres distinctes donnent un critère suffisant, pas nécessaire. Pour une matrice de taille n, en trouver n distinctes garantit la diagonalisation. En trouver moins impose d'étudier les vecteurs propres au lieu de déclarer un échec.
L'existence exacte ne garantit pas un calcul numérique robuste. Si les colonnes propres de P sont presque dépendantes, de petites erreurs sur A peuvent fortement perturber P et son inverse. Une méthode numérique adaptée, telle que la décomposition de Schur, est alors préférable pour le calcul.
Pour aller plus loin
La fiche valeur propre approfondit le nombre qui mesure l'action de la transformation sur une direction inchangée.
La fiche Vecteur propre précise comment reconnaître les directions qui constituent les colonnes de la matrice de passage.
Explorez les mathématiques autrement
Retrouvez nos magazines, podcasts et jeux pour explorer les mathématiques autrement.
Découvrir les offres