Diagonalisation simultanée

Imaginez deux transformations qui étirent les mêmes directions, mais avec des facteurs différents. Si l'on choisit ces directions comme axes, les deux transformations deviennent très simples : chacune ne fait que multiplier chaque coordonnée par un nombre.

La diagonalisation simultanée consiste précisément à trouver ce choix d'axes commun. Pour deux transformations déjà diagonalisables, il existe exactement quand leur ordre d'application ne change rien : appliquer la première puis la seconde revient à faire l'inverse.

Soient deux endomorphismes, c'est-à-dire deux transformations linéaires, représentés par les matrices A et B sur un même espace vectoriel de dimension finie. Ils sont simultanément diagonalisables s'il existe une seule base formée de vecteurs propres communs aux deux transformations. Si P est la matrice dont les colonnes sont ces vecteurs, les deux changements de base donnent des matrices diagonales : $P^{-1}AP=D_A\text{et}{P}^{-1}BP=D_{B}P^\{-1\}AP=D\_A\backslash quad\backslash text\{et\}\backslash quad\; P^\{-1\}BP=D\_B$.

La commutation signifie que l'ordre des deux transformations est indifférent. Elle s'écrit $AB=BAAB=BA$. Toute paire simultanément diagonalisable commute nécessairement. Réciproquement, sur un espace vectoriel de dimension finie, deux endomorphismes qui sont chacun diagonalisables sur le corps considéré et qui commutent sont simultanément diagonalisables. Ce résultat vaut aussi pour une famille finie d'endomorphismes diagonalisables qui commutent deux à deux.

L'idée de la preuve consiste à décomposer l'espace en sous-espaces propres de A. La relation de commutation garantit que B conserve chacun de ces sous-espaces. On peut donc y choisir des vecteurs propres de B, qui sont alors aussi propres pour A. Un corps algébriquement clos, comme celui des nombres complexes, garantit que les polynômes caractéristiques se décomposent, mais il ne rend pas toute matrice diagonalisable. La diagonalisabilité individuelle reste une hypothèse indispensable.

Considérons deux transformations du plan dans la base usuelle. Leurs matrices sont A et B, avec les données suivantes :

1. On vérifie d'abord la commutation. Les deux produits donnent la même matrice, donc le critère nécessaire est satisfait :

2. Pour A, le vecteur v₁ = (1, 0) est associé à la valeur propre 1, et le vecteur v₂ = (1, 1) à la valeur propre 2. Ces mêmes vecteurs sont propres pour B :

3. On place v₁ et v₂ en colonnes dans la matrice P. Comme son déterminant vaut 1, ces vecteurs forment une base :

4. Dans cette base commune, les résultats sont $P^{-1}AP=\mathrm{diag}(1,2)P^\{-1\}AP=\backslash operatorname\{diag\}(1,2)$ et $P^{-1}BP=\mathrm{diag}(3,5)P^\{-1\}BP=\backslash operatorname\{diag\}(3,5)$. Le contrôle se refait colonne par colonne avec les quatre égalités de l'étape 2.

Pour simplifier deux matrices données, on calcule d'abord AB et BA. Si les résultats diffèrent, aucune base ne les rend toutes deux diagonales. Il faut alors les étudier séparément plutôt que chercher une base propre commune.

Si les matrices commutent et sont chacune diagonalisables, on cherche les sous-espaces propres de l'une, puis on diagonalise l'autre à l'intérieur de chacun. Cette démarche évite de résoudre deux problèmes sans lien et construit directement les vecteurs propres communs.

En mécanique quantique de dimension finie, deux observables représentées par des matrices hermitiennes commutantes admettent une base orthonormée d'états propres communs. Leurs valeurs peuvent alors servir simultanément d'étiquettes. Sans commutation, on ne peut généralement pas attribuer deux valeurs propres exactes à tous les mêmes états.

Pour classer une paire d'endomorphismes commutants, la base commune remplace deux matrices par des couples de valeurs propres. Si l'une des matrices n'est pas diagonalisable, une triangularisation simultanée peut rester possible sur un corps algébriquement clos, mais elle fournit une forme moins simple.

Diagonalisation séparée. Deux matrices peuvent être diagonalisables dans deux bases différentes sans l'être dans une même base. Le test décisif est la commutation : si AB diffère de BA, aucune base propre commune n'existe.

Triangularisation simultanée. Obtenir deux matrices triangulaires dans une même base est moins exigeant que les rendre diagonales. Une matrice de Jordan non diagonale peut participer à une triangularisation commune, mais jamais à une diagonalisation simultanée.

Théorème spectral. Pour des matrices réelles symétriques ou complexes hermitiennes qui commutent, la base propre commune peut être choisie orthonormée. La diagonalisation simultanée générale n'affirme pas que la matrice de passage est orthogonale ou unitaire.

Commuter ne suffit pas toujours. La matrice identité commute avec toute matrice. Associée à une matrice de Jordan non diagonalisable, elle donne donc une paire commutante sans base diagonale commune. Il faut vérifier la diagonalisabilité de chaque matrice.

Une valeur propre multiple ne bloque pas la méthode. Elle laisse plusieurs choix de vecteurs dans son sous-espace propre. Il faut y diagonaliser l'autre transformation, plutôt que conserver une base arbitraire qui pourrait ne pas lui convenir.

Le corps de base compte. Une matrice réelle peut ne pas avoir assez de valeurs propres réelles, tout en devenant diagonalisable sur les nombres complexes. Être sur un corps algébriquement clos assure l'existence des racines, mais pas l'absence de blocs de Jordan.

Les opérateurs infinis demandent plus de précautions. Pour des opérateurs non bornés, l'égalité formelle des produits peut dépendre de leurs domaines. La formulation par mesures spectrales commutantes remplace alors le simple calcul matriciel de dimension finie.

La notion de valeur propre précise pourquoi certaines directions ne changent pas sous une transformation linéaire, hormis leur facteur d'échelle.

La Commutativité replace l'égalité AB = BA dans un cadre plus large et montre pourquoi l'ordre des opérations devient ici le test central.