AlgèbreNotion · Glossaire
Commutativité
La commutativité est la propriété d'une loi de composition binaire telle que le résultat ne dépend pas de l'ordre des opérandes : a * b = b * a pour tous a et b. L'addition et la multiplication des nombres réels sont commutatives. En revanche, la multiplication des matrices ou la composition des fonctions ne le sont généralement pas. Un groupe vérifiant la commutativité est dit abélien. La commutativité est l'une des propriétés fondamentales étudiées en algèbre abstraite.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier la commutativité comme l'invariance du résultat quand deux opérandes sont échangées.
- Vérifier l'échange sur l'exemple exact de 7 + 4 et comprendre pourquoi un exemple ne constitue pas une preuve générale.
- Distinguer commutativité, associativité et distributivité.
- Reconnaître les cas où la multiplication matricielle ou la composition des fonctions impose de conserver l'ordre.
- Relier une loi de groupe commutative à la notion de groupe abélien.
En clair
Posez 7 jetons rouges à côté de 4 jetons jaunes. Que l'on compte d'abord les rouges ou les jaunes, il y a toujours 11 jetons. L'ordre des deux nombres n'a pas changé le résultat.
Cette liberté d'échanger les deux entrées s'appelle la commutativité. Elle appartient à l'opération utilisée : l'addition l'autorise, tandis que d'autres opérations font de l'ordre une information essentielle.
Définition
Sur un ensemble E, une loi de composition binaire est une application de E × E dans E : à deux éléments de E, elle associe un résultat qui appartient encore à E. Notons « ∗ » cette loi. Elle est commutative lorsque, pour tous les éléments a et b de E, leur échange ne modifie pas le résultat : . La condition doit valoir pour chaque paire du domaine, pas seulement pour quelques exemples.
L'addition et la multiplication des nombres réels satisfont cette identité. En revanche, la multiplication des matrices et la composition des fonctions ne la satisfont généralement pas : inverser les deux facteurs ou les deux fonctions peut changer le résultat. La commutativité qualifie donc une loi sur un ensemble donné ; elle n'est pas une propriété isolée des symboles manipulés.
Un groupe est un ensemble muni d'une loi interne associative, d'un élément neutre et d'un inverse pour chaque élément. Lorsque sa loi est aussi commutative, le groupe est dit abélien. Cette propriété fondamentale aide ainsi à distinguer des structures en algèbre abstraite.
Un exemple, pas à pas
Une boîte contient deux lots : 7 jetons rouges et 4 jetons jaunes. Les données sont donc les nombres 7 et 4, l'opération d'addition et un total exprimé en jetons. Deux regroupements rendent visible l'échange des lots sans modifier leur contenu.
Étape 1. Additionnons d'abord le lot rouge, puis le lot jaune : 7 + 4 = 11.
Étape 2. Échangeons leur ordre et recommençons : 4 + 7 = 11.
Étape 3. Les deux calculs donnent exactement 11 jetons. L'égalité 7 + 4 = 4 + 7 vérifie la commutativité pour cette paire.
Le contrôle se refait en comptant directement les deux lots : 7 jetons plus 4 jetons donnent bien 11 jetons dans les deux ordres. Cet exemple illustre la propriété, mais ne suffit pas à la prouver pour tous les nombres.
En pratique
Dans un calcul mental, on peut réordonner une somme pour former des nombres ronds. Ainsi, 17 + 36 + 3 devient 17 + 3 + 36. Cette alternative est utile lorsque l'échange fait apparaître une addition plus rapide.
Dans un produit de nombres réels, on peut aussi rapprocher des facteurs faciles à multiplier. Avant tout déplacement, il faut identifier l'opération : la soustraction et la division n'autorisent pas le même geste.
Avec des matrices ou des fonctions, on conserve l'ordre indiqué tant qu'une preuve n'établit pas que les deux objets commutent. Le critère observable est simple : calculer les deux ordres et comparer leurs résultats.
À ne pas confondre
Associativité. La commutativité échange deux entrées ; l'associativité change leur regroupement sans changer leur ordre. Pour la soustraction, 8 − 3 n'est pas égal à 3 − 8, et (8 − 3) − 2 n'est pas égal à 8 − (3 − 2) : les deux propriétés échouent selon des tests différents.
Distributivité. Cette propriété relie deux lois, par exemple la multiplication et l'addition dans 3 × (4 + 2) = 3 × 4 + 3 × 2. Elle ne consiste pas à permuter 3 et 4 ; elle développe un facteur sur une somme.
Limites et pièges
Un exemple ne prouve pas une loi universelle. L'égalité 7 + 4 = 4 + 7 confirme une seule paire. Pour établir la commutativité, il faut une démonstration valable pour toutes les paires du domaine ; pour la réfuter, un seul contre-exemple suffit.
Deux matrices peuvent commuter par exception. Une matrice identité commute avec toute matrice de même taille, et deux matrices particulières peuvent aussi commuter. Ce constat local ne rend pas la multiplication matricielle commutative en général ; il faut comparer les deux produits dans le cas étudié.
La composition dépend du sens. Soient la fonction f qui ajoute 1 et la fonction g qui double un nombre. Appliquer g puis f donne , tandis qu'appliquer f puis g donne . Les résultats diffèrent pour tout nombre x ; il faut donc respecter l'ordre de composition.
Pour aller plus loin
Loi de composition interne — Situer la commutativité parmi les propriétés d'une opération qui combine deux éléments d'un même ensemble.
De l’algèbre « concrète » à l’algèbre « abstraite » — Voir comment des propriétés comme la commutativité structurent l'étude d'objets algébriques variés.
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