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Loi de composition interne
Une loi de composition interne sur un ensemble E est une application de E x E dans E, c'est-à-dire une opération qui associe à tout couple d'éléments de E un autre élément de E. Les exemples fondamentaux sont l'addition et la multiplication sur les entiers ℤ, ainsi que la composition de fonctions de E dans E : dans chaque cas, l'opération est définie pour tout couple considéré et reste dans l'ensemble choisi. Une loi de composition interne peut satisfaire diverses propriétés : associativité, commutativité, existence d'un élément neutre et d'éléments symétriques, définissant ainsi des structures algébriques comme les groupes, anneaux et corps.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Définir une loi de composition interne avec une notation précise.
- Vérifier la fermeture sur un exemple fini.
- Distinguer la fermeture des propriétés qui définissent des structures algébriques.
En clair
Imaginez une règle qui prend deux nombres dans une même boîte et rend toujours un nombre de cette boîte. L'addition sur les entiers en est un exemple : deux entiers additionnés donnent encore un entier. La règle ne sort donc jamais de l'ensemble choisi. Selon la règle, l'ordre des deux nombres peut compter, les regroupements peuvent changer le résultat, et un élément peut jouer le rôle de point neutre.
Définition
Une loi de composition interne sur un ensemble E est une opération qui associe à chaque couple ordonné d'éléments de E un élément de E. Si l'opération est notée « ⋆ », cette condition s'écrit :
Le mot « interne » exprime la fermeture : le résultat reste dans E. La loi peut être l'addition, la multiplication ou la composition de fonctions, selon l'ensemble et l'opération étudiés. Elle n'est pas nécessairement commutative, et elle n'est pas nécessairement associative. Lorsqu'une loi possède en plus certaines propriétés, elle contribue à définir une structure algébrique, par exemple un groupe, un anneau ou un corps. Une même opération peut être interne sur un ensemble et ne plus l'être sur un autre.
Le principe
Pour vérifier qu'une opération ⋆ est une loi de composition interne sur E, il faut prendre deux éléments quelconques x et y de E et constater que le résultat x⋆y appartient encore à E. La vérification porte sur tous les couples, pas seulement sur quelques calculs. Dans l'exemple conducteur, l'ensemble est E={0,1,2} et la règle consiste à additionner puis à conserver le reste de la division par 3.
Cette règle s'écrit :
Par exemple, 2⋆2=1, car 2+2=4 et le reste de la division de 4 par 3 vaut 1. Le résultat appartient bien à E.
Quand l'utiliser
La première condition est le choix explicite de l'ensemble E et de l'opération. Les deux entrées doivent appartenir à E, et le résultat doit appartenir à E pour chaque couple possible. Une opération définie sur un ensemble plus vaste ne devient pas automatiquement interne lorsqu'on restreint cet ensemble.
Dans E={0,1,2}, l'addition ordinaire n'est pas interne, car 2+2=4 et 4 n'appartient pas à E. L'addition modulo 3, elle, est interne : le reste obtenu est toujours 0, 1 ou 2. La fermeture est donc une propriété de l'ensemble et de la règle considérés ensemble.
Un exemple, pas à pas
Considérons E={0,1,2} et l'opération ⋆ définie par l'addition modulo 3. Pour calculer 2⋆2, on additionne d'abord les deux entrées : 2+2=4. Le reste de 4 dans la division par 3 est 1. Ainsi, 2⋆2=1, et le résultat reste dans E.
La table complète rend la fermeture visible :
Chaque case contient 0, 1 ou 2. La règle est donc bien une loi de composition interne sur E. La table montre aussi que 0 est neutre, car 0⋆x=x⋆0=x pour tout x de E. Elle montre enfin que l'opération est commutative, puisque la table est symétrique par rapport à sa diagonale.
En pratique
En pratique, commencez par préciser l'ensemble et la règle de calcul. Testez ensuite la fermeture sur un couple général, ou utilisez une table complète lorsque l'ensemble est fini. Dans E={0,1,2}, l'addition modulo 3 permet de travailler sans sortir de l'ensemble. Après la fermeture, vous pouvez examiner l'associativité, la commutativité, l'élément neutre et les symétriques ; ces propriétés décrivent la structure obtenue, mais elles ne sont pas requises pour avoir une loi interne.
À ne pas confondre
Une loi de composition interne ne signifie pas que l'opération est commutative. La commutativité ajoute la condition x⋆y=y⋆x ; une opération interne peut ne pas la vérifier, comme la composition des fonctions en général. Elle ne signifie pas non plus que l'opération possède un élément neutre ou des symétriques. Ces propriétés supplémentaires interviennent dans la définition de structures particulières, telles que les groupes.
Il faut également distinguer une loi interne d'une loi externe. Une loi externe fait intervenir au moins un élément qui n'appartient pas nécessairement à E, comme la multiplication d'un vecteur par un scalaire. La fermeture dans E est alors une autre question.
Limites et pièges
La fermeture dépend toujours du domaine. La soustraction est interne sur les entiers, mais pas sur les entiers naturels, car 2−5 n'est pas naturel. L'addition, elle, reste interne sur les entiers strictement positifs. Une formule peut donc définir une opération sans définir une loi interne sur l'ensemble annoncé.
Pour une loi sur un ensemble fini, une table doit comporter une valeur définie pour chaque couple. Une case manquante, une valeur extérieure à E ou une règle qui n'est pas définie pour certaines entrées suffit à faire échouer la propriété. Enfin, l'existence d'une loi interne ne garantit ni associativité, ni commutativité, ni élément neutre : chacune de ces propriétés doit être démontrée séparément.
Pour aller plus loin
Une loi de composition interne fournit le point de départ pour étudier une structure algébrique. Si elle est associative et possède un élément neutre, on obtient un monoïde ; si chaque élément possède en plus un symétrique, on obtient un groupe. Lorsque plusieurs lois internes coexistent, leurs relations peuvent conduire aux notions d'anneau et de corps. La loi interne n'est donc pas une structure complète : elle est l'opération de base dont les propriétés organisent l'ensemble.
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