AlgèbreObjet mathématique · Glossaire
monoïde - structure algébrique -
En algèbre, un monoïde est une structure composée d'un ensemble non vide muni d'une loi de composition interne vérifiant deux propriétés : l'associativité et l'existence d'un élément neutre. Autrement dit, tout monoïde est à la fois un demi-groupe (loi associative) et une structure unifère (possédant un élément neutre). On dit aussi que c'est un magma associatif et unifère. À la différence d'un groupe, un monoïde n'exige pas l'existence d'un inverse pour chaque élément.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier les quatre ingrédients d'un monoïde.
- Vérifier le monoïde (ℕ, +) étape par étape.
- Distinguer monoïde, groupe et demi-groupe.
- Repérer les pièges liés au neutre, à l'associativité et à la convention sur ℕ.
En clair
Prenez les nombres entiers naturels 0, 1, 2, 3… et additionnez-en deux. Le résultat reste un entier naturel. Regrouper trois additions autrement ne change pas leur somme : (2 + 3) + 4 et 2 + (3 + 4) valent tous deux 9. Enfin, ajouter 0 ne change aucun nombre.
Ces trois observations donnent un monoïde : une collection, une opération qui reste dans cette collection, une règle de regroupement et un élément neutre. Il n'est pas nécessaire de pouvoir annuler chaque opération.
Définition
Un monoïde est un couple formé d'un ensemble non vide M et d'une loi de composition interne, notée ⋆. Cette loi associe à deux éléments a et b de M un élément a ⋆ b qui appartient encore à M.
La loi est associative : pour tous les éléments a, b et c de M, . Il existe aussi dans M un élément e, appelé élément neutre, tel que pour tout a de M, . Ce neutre bilatère est nécessairement unique.
Un monoïde est donc un demi-groupe muni d'un neutre, ou, de façon équivalente, un magma associatif et unifère. La commutativité n'est pas requise. L'existence d'un inverse pour chaque élément ne l'est pas davantage ; lorsqu'elle est satisfaite, le monoïde est un groupe.
De quoi c'est fait
Quatre ingrédients décrivent la structure. L'ensemble M fournit les objets à combiner et doit contenir au moins un élément. La loi interne ⋆ combine toute paire d'éléments de M sans faire sortir le résultat de M. L'associativité garantit que plusieurs combinaisons successives ne dépendent pas du placement des parenthèses. Le neutre e laisse chaque élément inchangé, à gauche comme à droite.
La loi et l'ensemble sont indissociables : une même opération peut être interne sur un ensemble et ne pas l'être sur un autre. Le neutre dépend lui aussi de la loi choisie. Ces données suffisent à combiner une suite finie d'éléments sans ambiguïté de parenthésage, mais elles n'imposent ni ordre des facteurs interchangeable ni opération inverse.
Un exemple, pas à pas
Considérons l'ensemble ℕ = {0, 1, 2, 3…}, avec l'addition. Les données utilisées sont les nombres 0, 1, 2, 3 et 4 ; l'opération est +. Il faut vérifier que cette paire forme un monoïde.
1. Fermeture. La somme de deux entiers naturels est encore un entier naturel ; par exemple, 2 + 3 = 5.
2. Associativité. Avec 2, 3 et 4, les deux parenthésages donnent (2 + 3) + 4 = 5 + 4 = 9 et 2 + (3 + 4) = 2 + 7 = 9. Cette coïncidence illustre la loi générale d'associativité de l'addition.
3. Neutre. Pour tout entier naturel n, 0 + n = n + 0 = n. Le nombre 0 est donc le neutre.
Ainsi, (ℕ, +) est un monoïde. Le contrôle final montre aussi pourquoi ce n'est pas un groupe : l'entier 1 n'a aucun inverse dans ℕ, car aucun entier naturel x ne satisfait 1 + x = 0.
En pratique
Pour tester une structure candidate, on contrôle d'abord que l'opération ne fait jamais sortir de l'ensemble. On cherche ensuite un neutre bilatère, puis on vérifie l'associativité pour des éléments quelconques, pas seulement sur quelques exemples.
L'addition sur ℕ convient lorsque l'on cumule des quantités sans exiger de retour en arrière. Si chaque action doit pouvoir être annulée dans le même ensemble, la structure à rechercher est plutôt un groupe.
La concaténation de mots fournit un autre usage : le mot vide est neutre et les regroupements ne changent pas le mot obtenu. L'ordre compte cependant, ce qui rappelle qu'un monoïde n'est pas forcément commutatif.
À ne pas confondre
Monoïde et groupe. Dans un groupe, chaque élément possède un inverse ; dans un monoïde, ce n'est pas exigé. Ainsi, (ℕ, +) est un monoïde, mais pas un groupe puisque 1 n'a pas d'opposé dans ℕ.
Monoïde et demi-groupe. Les deux ont une loi associative, mais le monoïde doit aussi avoir un neutre. Les entiers strictement positifs avec l'addition forment un demi-groupe sans former un monoïde, car 0 n'appartient pas à cet ensemble.
Associativité et commutativité. L'associativité change les parenthèses ; la commutativité permute les termes. La concaténation est associative, mais « ab » et « ba » montrent qu'elle n'est pas commutative.
Limites et pièges
Un neutre d'un seul côté ne suffit pas. Trouver un élément qui laisse tous les autres inchangés seulement à gauche, ou seulement à droite, ne prouve pas que la structure est un monoïde. Il faut tester les deux côtés.
Quelques calculs ne prouvent pas l'associativité. L'égalité observée avec 2, 3 et 4 sert de contrôle, mais la propriété doit valoir pour tout triplet d'éléments. Une preuve générale ou une vérification exhaustive sur un ensemble fini est nécessaire.
Le cas à un élément est permis. Un ensemble {e} muni de la loi e ⋆ e = e est un monoïde : e est son neutre. En revanche, l'ensemble vide est exclu par la définition retenue, puisqu'il ne peut contenir aucun neutre.
La convention sur ℕ doit être annoncée. L'exemple utilise ℕ = {0, 1, 2…}. Si ℕ désigne les entiers strictement positifs, l'addition n'y possède plus de neutre et l'exemple devient seulement un demi-groupe.
Pour aller plus loin
La fiche Élément neutre approfondit l'élément qui laisse toute composition inchangée et explique son rôle dans une structure algébrique.
La fiche Loi de composition interne précise la condition de fermeture qui permet de combiner deux éléments sans quitter l'ensemble.
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