anneau - structure algébrique -

Prenez les six restes 0, 1, 2, 3, 4 et 5 d'une division par 6. On peut les additionner ou les multiplier, puis ne garder que le reste : 4 + 5 donne 3, tandis que 4 × 5 donne 2. Le résultat appartient toujours à la même liste.

Cet ensemble forme un anneau. L'addition permet de revenir à 0 grâce à un opposé, et la multiplication s'accorde avec l'addition par la distributivité. Un anneau est donc un terrain de calcul stable muni de ces deux opérations, sans exiger que toute division y soit possible.

Un anneau est un ensemble, noté ici A, muni de deux lois internes appelées addition et multiplication. Dire qu'elles sont internes signifie que la somme et le produit de deux éléments de A appartiennent encore à A. Pour l'addition, A est un groupe commutatif : l'addition est associative, possède un élément neutre 0, chaque élément a un opposé, et l'ordre des termes ne change pas la somme.

La multiplication est associative. Elle est reliée à l'addition par les deux distributivités : pour tous éléments a, b et c de A, $a(b+c)=ab+ac\text{et}(a+b)c=ac+bca(b+c)=ab+ac\; \backslash quad\backslash text\{et\}\backslash quad\; (a+b)c=ac+bc$. Ces propriétés impliquent notamment que 0 multiplié par n'importe quel élément vaut 0. Elles n'impliquent ni que chaque élément non nul soit inversible, ni que l'on puisse simplifier un produit.

Si ab = ba pour tous éléments a et b, l'anneau est commutatif. Selon les conventions, la définition d'un anneau exige aussi un élément neutre multiplicatif 1 ; la définition source employée ici ne l'impose pas. Les entiers relatifs et les restes modulo 6 sont des anneaux commutatifs avec unité. Les matrices carrées réelles forment aussi un anneau avec unité, mais leur multiplication n'est généralement pas commutative.

Un anneau réunit cinq ingrédients. Le support est l'ensemble de ses éléments. L'addition reste dans ce support et fournit le zéro ainsi qu'un opposé pour chaque élément. La multiplication reste elle aussi dans le support et peut, selon la convention retenue, posséder une unité. L'associativité permet de multiplier trois éléments sans ambiguïté de parenthèses. Les deux distributivités coordonnent enfin multiplication et addition, à gauche comme à droite.

Le zéro et les opposés dépendent de la structure additive, tandis que la distributivité fait agir la multiplication sur les sommes. La commutativité de la multiplication n'est pas un ingrédient obligatoire : elle définit une catégorie particulière d'anneaux. Ces données suffisent à développer et factoriser des expressions, à calculer avec des polynômes ou des matrices et à comparer des structures par des applications qui respectent les deux opérations.

Étudions les restes modulo 6. Les données sont l'ensemble A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, l'addition et la multiplication suivies du remplacement d'un entier par son reste dans une division par 6.

1. Vérifions la stabilité sur une somme : 4 + 5 = 9, dont le reste modulo 6 est 3. Le résultat 3 appartient à A.

2. L'élément 0 est neutre pour l'addition. Chaque reste a un opposé : celui de 1 est 5, car 1 + 5 donne le reste 0. L'addition modulo 6 est associative et commutative.

3. La multiplication est stable et associative ; 1 en est l'élément neutre. Elle est aussi commutative dans cet exemple.

4. Contrôlons la distributivité avec 4, 2 et 5 : $4(2+5)\equiv 4\times 1\equiv 4(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}6)4(2+5)\backslash equiv4\backslash times1\backslash equiv4\backslash pmod\; 6$, et $4\times 2+4\times 5\equiv 2+2\equiv 4(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}6)4\backslash times2+4\backslash times5\backslash equiv2+2\backslash equiv4\backslash pmod\; 6$. La figure synthétise ces calculs dans le même ensemble de six restes.

5. Un contrôle révélateur donne 2 × 3 = 6, donc le reste 0. Ainsi, A est bien un anneau, mais 2 et 3, pourtant non nuls, ne peuvent pas être simplifiés dans un produit comme des nombres réels non nuls.

En arithmétique modulaire, un anneau organise les calculs de restes avec addition et multiplication. Pour savoir si une division est permise, il faut toutefois vérifier que le diviseur possède un inverse ; le seul fait d'être non nul ne suffit pas, comme le montre 2 × 3 = 0 modulo 6.

Avec les polynômes, la structure d'anneau autorise les développements, les factorisations et les produits. Si le problème exige de diviser par tout polynôme non nul, un corps de fractions ou un autre cadre est nécessaire, car l'anneau des polynômes ne fournit pas tous ces inverses.

Avec les matrices carrées, le langage des anneaux permet de conserver les règles de distributivité tout en signalant que l'ordre des facteurs compte. Avant de permuter deux facteurs dans un calcul, il faut donc tester leur commutation ; l'anneau commutatif n'est pas le modèle adapté en général.

Anneau algébrique et couronne géométrique. Le premier est un ensemble avec deux opérations satisfaisant des axiomes ; la seconde est la région plane comprise entre deux cercles concentriques. Calculer 4 + 5 modulo 6 relève de l'algèbre, mesurer l'aire entre deux cercles relève de la géométrie.

Anneau et corps. Dans un corps, tout élément non nul possède un inverse multiplicatif. Ce n'est pas requis dans un anneau : modulo 6, aucun reste multiplié par 2 ne donne 1, donc 2 n'est pas inversible.

Anneau et groupe. Un groupe ne comporte qu'une loi principale et exige un inverse pour chacun de ses éléments. Un anneau articule deux lois : ses éléments ont toujours un opposé pour l'addition, mais pas nécessairement un inverse pour la multiplication.

Convention sur l'unité. Certains auteurs réservent le mot anneau aux structures possédant un neutre multiplicatif 1 ; d'autres ne l'exigent pas. Avant d'utiliser un théorème ou de parler de morphisme d'anneaux, vérifiez la convention annoncée.

Ordre des facteurs. La multiplication d'un anneau peut ne pas être commutative. Pour des matrices, AB et BA peuvent différer ; permuter les facteurs sans preuve de commutation peut donc changer le résultat.

Diviseurs de zéro. Un produit nul n'oblige pas l'un de ses facteurs à être nul. Modulo 6, 2 × 3 vaut 0 alors que 2 et 3 sont non nuls. Une simplification multiplicative exige une hypothèse supplémentaire, telle que l'absence de diviseurs de zéro.

Anneau nul. L'ensemble réduit à un seul élément satisfait les axiomes usuels, avec 0 = 1 lorsque l'unité est requise. Certaines conventions excluent ce cas en imposant 0 ≠ 1 ; il faut contrôler cette condition avant d'énoncer un résultat général.

corps - structure algébrique - — Examiner ce que change l'existence d'un inverse pour chaque élément non nul.

monoïde - structure algébrique - — Isoler le rôle d'une loi associative munie d'un élément neutre.

Localisation (anneau) — Voir comment rendre inversibles certains éléments tout en conservant la structure algébrique.

Entiers relatifs — Retrouver l'exemple fondamental d'un anneau commutatif avec unité.