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corps commutatif
Un corps est dit commutatif lorsque sa deuxième loi de composition interne, la multiplication, est commutative, c'est-à-dire lorsque pour tous éléments a et b du corps on a a·b = b·a. La plupart des corps usuels — rationnels, réels, complexes — sont commutatifs. Les corps non commutatifs, également appelés corps gauches ou anneaux à division, constituent des structures plus rares ; le corps des quaternions de Hamilton en est l'exemple le plus classique.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier la place de la commutativité parmi les propriétés d'un corps.
- Vérifier sur deux fractions que les deux ordres donnent exactement le même produit.
- Distinguer corps commutatif, anneau commutatif et corps gauche.
- Éviter de généraliser la propriété à partir d'une seule paire.
En clair
Prenons les fractions 2/3 et 3/5. Les multiplier dans un ordre ou dans l'autre donne chaque fois 2/5. Dans un corps commutatif, ce changement d'ordre ne modifie jamais le produit, quels que soient les deux éléments choisis.
Les nombres rationnels, réels et complexes obéissent à cette règle. Il existe toutefois des corps où l'ordre compte : les quaternions de Hamilton fournissent l'exemple classique de cette situation plus rare.
Définition
Un corps est un ensemble, noté K, muni d'une addition et d'une multiplication. L'addition possède un élément neutre, appelé zéro, et chaque élément a un opposé. La multiplication possède un élément neutre, appelé un et distinct de zéro, et chaque élément différent de zéro a un inverse. Les deux opérations sont associatives, l'addition est commutative et la multiplication se distribue sur l'addition.
Le corps K est commutatif si l'ordre des facteurs ne change aucun produit. Autrement dit, pour tous les éléments a et b de K, le critère est . Cette condition porte sur tous les éléments, y compris zéro, même si seuls les éléments non nuls ont un inverse multiplicatif.
Les corps des rationnels ℚ, des réels ℝ et des complexes ℂ sont commutatifs. Lorsque la multiplication n'est pas commutative, on parle de corps gauche ou d'anneau à division. Les quaternions de Hamilton en sont l'exemple classique. Selon les conventions de vocabulaire, le mot « corps » peut être réservé au cas commutatif ; la structure non commutative est alors toujours nommée corps gauche ou anneau à division.
De quoi c'est fait
Un corps commutatif repose sur plusieurs éléments liés. L'ensemble K fournit les objets à calculer. L'addition combine deux éléments et reste dans K ; son neutre est zéro, et les opposés rendent la soustraction possible. La multiplication combine elle aussi deux éléments de K ; son neutre est un, et l'inverse de chaque élément non nul rend la division possible.
La distributivité relie les deux opérations : multiplier une somme revient à multiplier chacun de ses termes puis à additionner. La commutativité ajoute que deux facteurs peuvent être permutés sans changer leur produit. L'ensemble, les deux opérations, leurs neutres, les opposés, les inverses et ces relations définissent la structure ; les symboles employés pour les écrire n'en sont que la notation.
Un exemple, pas à pas
Vérifions les deux ordres pour une paire de nombres rationnels. Le premier facteur, noté a, vaut 2/3. Le second, noté b, vaut 3/5. Les deux fractions sont des éléments de ℚ.
Données :
a = 2/3 ;
b = 3/5 ;
les produits sont calculés dans ℚ.
a = 2/3 ;
b = 3/5 ;
les produits sont calculés dans ℚ.
1. Multiplier a par b :
2. Multiplier les mêmes facteurs dans l'ordre inverse :
3. Comparer les résultats : les deux produits valent exactement 2/5.
On obtient donc pour cette paire. Le contrôle consiste à multiplier les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux : dans les deux ordres, on retrouve 6/15, puis 2/5 après simplification. Cette vérification illustre la règle dans ℚ ; la définition exige qu'elle soit vraie pour toute paire du corps.
En pratique
Dans ℚ, ℝ ou ℂ, on peut réordonner les facteurs d'un produit pour regrouper ceux qui se simplifient. Ce geste est légitime parce que la multiplication y est commutative.
Pour résoudre une équation multiplicative dans un corps commutatif, un coefficient non nul peut être remplacé par son inverse sans devoir distinguer une multiplication à gauche d'une multiplication à droite. Dans un corps gauche, cette distinction devient nécessaire dès que l'ordre des facteurs change le résultat.
Avant de permuter des facteurs dans une structure inconnue, il faut donc identifier la loi utilisée et vérifier sa commutativité. Les corps usuels ℚ, ℝ et ℂ autorisent la permutation ; les quaternions imposent de conserver l'ordre.
À ne pas confondre
Corps commutatif et anneau commutatif. Dans les deux structures, les produits peuvent être permutés. Le critère qui les sépare concerne les inverses : dans un corps, tout élément non nul est inversible, ce qui n'est pas exigé dans un anneau commutatif.
Commutativité de l'addition et de la multiplication. L'addition est commutative dans tout corps, mais cela ne suffit pas à rendre le corps commutatif. Le test décisif porte sur la multiplication : les quaternions ont une addition commutative alors que certains de leurs produits changent avec l'ordre.
Corps commutatif et corps gauche. Dans un corps commutatif, tous les produits satisfont . Dans un corps gauche, une seule paire dont les deux ordres donnent des résultats différents suffit à constater la non-commutativité.
Limites et pièges
Une paire ne suffit pas. Trouver deux éléments qui commutent montre seulement que cette paire respecte l'égalité. Pour conclure qu'un corps est commutatif, le critère doit être établi pour toutes les paires. En revanche, une seule paire qui ne commute pas réfute la commutativité.
Zéro n'a pas d'inverse. La commutativité s'applique bien aux produits contenant zéro. La condition d'inversibilité, elle, exclut zéro ; oublier cette restriction conduit à demander une division impossible.
Le vocabulaire varie. Certains textes emploient « corps » uniquement pour une structure à multiplication commutative. D'autres admettent des corps non commutatifs et précisent alors « corps commutatif ». Il faut vérifier la convention annoncée avant d'interpréter le mot isolé.
Les quaternions ne sont pas un contre-exemple aux inverses. Ils forment l'exemple classique d'un corps gauche : leurs éléments non nuls restent inversibles, mais certains produits dépendent de l'ordre. Le piège consiste à confondre non-commutativité et absence d'inverse.
Pour aller plus loin
Le glossaire corps gauche précise ce qui subsiste de la structure d'un corps lorsque la multiplication n'est plus commutative.
Dans le cas non commutatif, l'entrée Anneau à division présente cette appellation et le rôle des inverses non nuls.
La fiche quaternion montre l'exemple classique où deux produits formés des mêmes facteurs changent quand leur ordre est inversé.
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