corps - structure algébrique -

Prenez deux fractions, par exemple 3/4 et 2/5. Leur somme, leur différence et leur produit sont encore des fractions. On peut aussi diviser 3/4 par 2/5 : cela revient à multiplier 3/4 par l'inverse 5/2.

Un corps est précisément un univers de calcul où addition, soustraction, multiplication et division restent possibles sans sortir de l'ensemble, sauf la division par zéro. Les nombres rationnels ℚ, les réels ℝ et les complexes ℂ en sont les exemples fondamentaux.

Un corps est un ensemble non vide E muni d'une addition et d'une multiplication internes : appliquer l'une de ces opérations à deux éléments de E produit encore un élément de E. Pour l'addition, E est un groupe abélien : l'opération est associative et commutative, elle possède un élément neutre noté 0, et chaque élément a un opposé.

Après avoir retiré 0, la multiplication fait de E privé de 0 un groupe : elle est associative, possède un neutre noté 1 et tout élément non nul a un inverse. La source adopte la convention où ce groupe multiplicatif peut ne pas être commutatif. Lorsque la multiplication commute, on parle de corps commutatif ; c'est le cas de ℚ, ℝ et ℂ.

Enfin, la multiplication est distributive par rapport à l'addition. Pour tous éléments a, b et c de E, les deux relations sont : $a(b+c)=ab+ac\text{et}(a+b)c=ac+bca(b+c)=ab+ac\; \backslash quad\; \backslash text\{et\}\; \backslash quad\; (a+b)c=ac+bc$. Ces axiomes font du corps un anneau dans lequel chaque élément non nul est inversible.

La structure comporte d'abord un ensemble E et deux lois internes, l'addition et la multiplication. L'addition fournit le zéro et l'opposé de chaque élément. La multiplication fournit l'unité 1 et, pour chaque élément non nul, un inverse. Le zéro est exclu du groupe multiplicatif, car il n'a pas d'inverse.

Les deux lois ne sont pas juxtaposées : la distributivité les relie. Elle autorise notamment le développement et la factorisation. L'existence des opposés transforme une addition en soustraction ; celle des inverses non nuls transforme une multiplication en division. Ces données suffisent ainsi à résoudre des équations linéaires, sous réserve de ne jamais diviser par zéro.

Travaillons dans le corps des rationnels ℚ. Les données sont le coefficient 3/4, le terme ajouté 1/2 et le second membre 5/4. Résolvons l'équation : $\frac{3}{4}x+\frac{1}{2}=\frac{5}{4}\backslash frac\{3\}\{4\}x+\backslash frac\{1\}\{2\}=\backslash frac\{5\}\{4\}$.

1. Soustrayons 1/2 aux deux membres. Comme 5/4 − 1/2 = 5/4 − 2/4 = 3/4, l'équation devient (3/4)x = 3/4.

2. Le coefficient 3/4 est non nul. Son inverse dans ℚ est 4/3, car (3/4) × (4/3) = 1. La figure suit cette multiplication des deux membres par le même inverse.

3. Multiplions les deux membres par 4/3. Le calcul structuré donne :

4. Contrôlons dans l'équation initiale : (3/4) × 1 + 1/2 = 3/4 + 2/4 = 5/4. La valeur x = 1 convient, et elle est unique puisque le coefficient 3/4 est inversible.

Pour résoudre une équation linéaire, on soustrait le même terme des deux côtés, puis on multiplie par l'inverse du coefficient non nul. Dans un simple anneau, cet inverse peut manquer ; il faut alors étudier la divisibilité ou l'existence de plusieurs solutions.

Pour calculer exactement avec des fractions, ℚ est le cadre naturel : l'inverse d'un rationnel non nul reste rationnel. Si un calcul fait intervenir des nombres qui ne sont pas rationnels, ℝ ou ℂ offrent des cadres plus larges tout en conservant les opérations d'un corps.

Pour vérifier qu'un ensemble muni de deux lois est un corps, il faut contrôler séparément le groupe additif, le groupe multiplicatif sans zéro et la distributivité. Si un seul élément non nul n'a pas d'inverse, la structure obtenue est au mieux un anneau, pas un corps.

Corps et anneau. Un anneau possède aussi une addition et une multiplication distributives, mais ses éléments non nuls ne sont pas tous forcément inversibles. Ainsi, les entiers ℤ forment un anneau, pas un corps : 2 n'y possède aucun inverse multiplicatif.

Corps et espace vectoriel. Dans un corps, deux éléments peuvent être multipliés entre eux. Dans un espace vectoriel, la multiplication essentielle associe plutôt un scalaire du corps et un vecteur. Par exemple, ℝ² est un espace vectoriel sur ℝ, mais sa multiplication coordonnée ne donne pas d'inverse à (1, 0).

Corps et corps commutatif. Dans la convention de la source, un corps peut avoir une multiplication non commutative. Le qualificatif « commutatif » impose que ab = ba pour tous a et b. D'autres ouvrages réservent le mot « corps » au cas commutatif et nomment le cas général « corps gauche » ou « anneau à division ».

Division par zéro. Aucun élément multiplié par 0 ne peut donner 1. Une expression contenant 1/0 n'est donc pas définie dans un corps ; il faut exclure la valeur qui annule le dénominateur avant de simplifier.

Inverse absent. Dans un anneau, un élément non nul peut ne pas posséder d'inverse. Le symptôme est qu'une étape de division ne peut pas être effectuée dans l'ensemble choisi. Il faut alors conserver l'équation sous forme multiplicative ou travailler dans un corps qui contient cet anneau.

Ordre des facteurs. Si la multiplication n'est pas commutative, multiplier une équation par un inverse à gauche ou à droite n'est pas le même geste. Il faut conserver l'ordre des facteurs. Dans tout groupe multiplicatif, l'inverse à deux côtés existe et est unique, mais il se place du côté qui permet l'annulation voulue.

Confondre opposé et inverse. L'opposé de 3/4 est −3/4, car leur somme vaut 0. Son inverse est 4/3, car leur produit vaut 1. Pour annuler une addition, utilisez l'opposé ; pour annuler une multiplication par un élément non nul, utilisez l'inverse.

Localisation (anneau) — Voir comment l'ajout contrôlé d'inverses transforme un anneau et généralise la construction des fractions.

Argument d'un nombre complexe — Approfondir la géométrie multiplicative de ℂ, l'un des trois corps fondamentaux cités dans la définition.