Localisation (anneau)

Dans l’anneau des entiers, 3 n’a pas d’inverse entier : aucune multiplication par un entier ne donne 1. Localiser revient à choisir certains dénominateurs autorisés, puis à les rendre inversibles. Si l’on choisit les puissances de 2, on obtient notamment 3/2, 5/4 ou −7/8, mais pas 1/3.

La construction garde donc l’addition et la multiplication, tout en élargissant l’anneau juste assez pour effectuer les divisions choisies. Deux écritures différentes peuvent désigner le même élément, comme 3/2 et 6/4.

Soit A un anneau commutatif et soit S une partie multiplicative de A : elle contient 1 et reste stable par multiplication. La localisation de A en S, notée $S^{-1}AS^\{-1\}A$, est formée de classes de paires (a, s), où a appartient à A et s à S. La paire (a, s) se lit comme la fraction a/s.

Deux paires (a, s) et (b, t) représentent le même élément lorsqu’il existe un élément u de S tel que $u(at-bs)=0u(at-bs)=0$. Cette condition tient compte d’éventuels diviseurs de zéro dans A. L’élément a de A est envoyé sur a/1, et chaque s de S devient inversible : son inverse est 1/s.

Lorsque A est intègre et que S rassemble tous ses éléments non nuls, la localisation est le corps des fractions de A. Si S est le complémentaire d’un idéal premier p, on note aussi la localisation A_p ; les éléments hors de p y deviennent inversibles, et l’anneau obtenu est local.

La construction repose sur quatre éléments. L’anneau commutatif A fournit les numérateurs et les opérations. La partie multiplicative S fournit les dénominateurs autorisés ; sa stabilité garantit que le produit de deux dénominateurs reste autorisé. Les paires (a, s) sont les écritures provisoires des fractions. Enfin, la relation d’équivalence regroupe les écritures qui doivent compter comme un même élément.

Le choix de S détermine donc quelles divisions deviennent possibles, tandis que la relation d’équivalence détermine quand deux résultats coïncident. Ces données suffisent à définir l’addition et la multiplication des classes : on met les dénominateurs en commun pour additionner et on multiplie numérateurs et dénominateurs pour multiplier.

On part de l’anneau ℤ des entiers. La partie multiplicative choisie est S = {1, 2, 4, 8, …}, formée des puissances de 2. Les données sont les fractions 3/2 et 5/4, dont les dénominateurs appartiennent à S.

1. Pour additionner, on remplace 3/2 par une écriture de dénominateur 4 : $\frac{3}{2}=\frac{6}{4}\backslash frac\{3\}\{2\}=\backslash frac\{6\}\{4\}$.

2. On additionne les numérateurs : $\frac{6}{4}+\frac{5}{4}=\frac{11}{4}\backslash frac\{6\}\{4\}+\backslash frac\{5\}\{4\}=\backslash frac\{11\}\{4\}$. Le dénominateur 4 reste une puissance de 2.

3. On contrôle le résultat en multipliant 11/4 par 4 : on retrouve l’entier 11. La figure récapitule les deux changements d’écriture qui rendent le calcul visible.

Le résultat est donc 11/4 dans S⁻¹ℤ. En revanche, 1/3 n’appartient pas à cette localisation sous cette forme : 3 n’est pas un dénominateur autorisé et aucun produit d’une puissance de 2 avec 3 ne devient une puissance de 2.

Pour autoriser seulement certaines divisions, on choisit S d’après les éléments qui doivent devenir inversibles. Avec les puissances de 2, les dénominateurs restent des puissances de 2 ; si tous les entiers non nuls doivent être permis, le corps des fractions est l’alternative adaptée.

Pour étudier un idéal premier p, on inverse tout ce qui est hors de p. La localisation A_p concentre alors l’étude sur ce qui ne devient pas inversible et fournit l’anneau local associé.

En géométrie algébrique, ce passage à un anneau local sert à examiner un comportement au voisinage d’un idéal premier. Le critère est donc le foyer de l’étude : une vision globale conserve A, tandis qu’une étude locale choisit le complémentaire de p comme partie multiplicative.

Localisation et corps des fractions. Une localisation n’inverse que les éléments choisis dans S. Le corps des fractions d’un anneau intègre inverse tous ses éléments non nuls. Ainsi, la localisation de ℤ par les puissances de 2 contient 1/2 mais pas 1/3, tandis que le corps des fractions de ℤ contient les deux.

Localisation et anneau local. La localisation est une construction dépendant de S ; un anneau local est un anneau possédant un unique idéal maximal. Lorsque S est le complémentaire d’un idéal premier p, la construction produit précisément l’anneau local A_p.

Si 0 appartient à S. Rendre 0 inversible force 0 = 1 dans l’anneau obtenu : la localisation se réduit alors à l’anneau nul. Il faut vérifier que 0 est exclu lorsque l’on cherche une localisation non triviale.

Si S contient des diviseurs de zéro. L’application de A vers S⁻¹A peut identifier des éléments auparavant distincts. Il ne faut donc pas supposer qu’un anneau se retrouve toujours fidèlement à l’intérieur de sa localisation.

Une égalité de fractions ne se teste pas toujours par simple produit en croix. Dans un anneau avec diviseurs de zéro, la bonne condition demande un élément u de S tel que u(at − bs) = 0. Oublier ce facteur u peut donner un verdict faux.

Les dénominateurs restent ceux de S. Choisir les puissances de 2 autorise 1/8, mais pas automatiquement 1/3. Pour autoriser davantage de divisions, il faut agrandir la partie multiplicative ou, dans le cas intègre, passer au corps des fractions.

Le Corps des fractions montre le cas où tous les éléments non nuls d’un anneau intègre deviennent inversibles.

L’anneau de Dedekind prolonge l’étude vers une famille d’anneaux où idéaux et localisations jouent un rôle structurant.

L’article Au service des courbes replace ces outils algébriques dans le contexte des courbes et de la géométrie algébrique.