AlgèbreObjet mathématique · Glossaire
Corps des fractions
Dans ℤ, le quotient 2/3 n'est pas un entier. Le corps des fractions ajoute à un anneau intègre A les quotients a/b qui lui manquent, avec b non nul. On le construit à partir des paires (a, b), en identifiant (a, b) et (c, d) lorsque ad = bc. On obtient ainsi Frac(ℤ) = ℚ et, pour un corps k, Frac(k[X]) = k(X), le corps des fractions rationnelles. La définition formelle et la propriété universelle sont précisées dans la suite.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Relier les paires (a, b) aux classes de fractions par le produit croisé.
- Effectuer une addition dans Frac(ℤ) et contrôler le résultat 5/6.
- Distinguer corps des fractions, anneau quotient et localisation.
- Reconnaître pourquoi l'intégrité et l'injectivité sont nécessaires.
En clair
Dans les entiers, 2 divisé par 3 n'est plus un entier. Le corps des fractions ajoute précisément les quotients qui manquent, sans perdre les éléments de départ. Une paire comme (2, 3) représente alors 2/3.
Plusieurs paires peuvent désigner le même nombre : (2, 3) et (4, 6) sont identifiées parce que les produits croisés 2 × 6 et 3 × 4 valent tous deux 12. On peut ensuite additionner, multiplier et diviser par tout élément non nul.
Définition
Soit A un anneau intègre. Son corps des fractions, noté Frac(A), est formé de classes de paires (a, b), où le numérateur a appartient à A et le dénominateur b appartient à A sans être nul. La paire (a, b) se note a/b. Deux paires (a, b) et (c, d) représentent la même fraction exactement lorsque .
L'addition et la multiplication sont définies sur les représentants par et . L'intégrité de A garantit que ces opérations ne dépendent pas des représentants choisis et que bd reste non nul. L'application qui associe a/1 à chaque élément a de A est injective : elle permet d'identifier A à un sous-anneau de Frac(A).
Tout élément non nul a/b possède l'inverse b/a. Ainsi, Frac(A) est un corps. Tout morphisme injectif de A vers un corps se prolonge de manière unique à Frac(A) ; cette propriété universelle caractérise Frac(A) à isomorphisme unique près. On obtient Frac(ℤ) = ℚ et, pour un corps k, Frac(k[X]) = k(X), le corps des fractions rationnelles.
De quoi c'est fait
La construction repose sur cinq éléments liés. L'anneau intègre A fournit les numérateurs et les dénominateurs. Les paires (a, b) exigent seulement que b soit non nul. La relation d'équivalence regroupe (a, b) et (c, d) quand ad = bc ; elle rend possible plusieurs écritures d'une même fraction.
Les classes d'équivalence, et non les paires isolées, sont les éléments du corps obtenu. Les opérations combinent des représentants, puis reviennent à leur classe. Elles dépendent de l'absence de diviseurs de zéro : le produit de deux dénominateurs non nuls reste non nul. Enfin, l'inclusion a ↦ a/1 relie A à la construction. Ces données suffisent à calculer des sommes, des produits et l'inverse de chaque fraction non nulle.
Un exemple, pas à pas
Partons de l'anneau des entiers ℤ. Les données sont les paires (2, 3), (4, 6) et (1, 6), dont les dénominateurs 3 et 6 sont non nuls. Nous allons identifier une fraction, effectuer une somme, puis contrôler le résultat.
1. Pour comparer (2, 3) et (4, 6), calculons les produits croisés : 2 × 6 = 12 et 3 × 4 = 12. Les deux paires appartiennent donc à la même classe et représentent 2/3.
2. Une représentation met en regard les deux paires et l'égalité exacte qui autorise leur identification. Elle rappelle que l'objet construit est la classe commune, pas une écriture privilégiée.
3. Additionnons la classe de (2, 3) et celle de (1, 6) : . Le résultat est la classe de (5, 6).
4. Contrôlons avec un dénominateur commun : 2/3 = 4/6, donc 4/6 + 1/6 = 5/6. Les deux méthodes donnent la même classe. Comme 5 est non nul, l'inverse de 5/6 est 6/5, ce qui vérifie aussi que tout rationnel non nul devient inversible.
En pratique
Avec des coefficients entiers, une division comme 2 ÷ 3 sort de ℤ. On travaille alors dans Frac(ℤ) = ℚ lorsque le quotient doit être conservé exactement ; les nombres décimaux approchés conviennent seulement si une approximation suffit.
Avec des polynômes à coefficients dans un corps k, le quotient de deux polynômes n'est généralement plus un polynôme. Si le dénominateur est un polynôme non nul, on passe de k[X] à k(X), plutôt que de forcer le résultat à rester dans k[X].
Pour envoyer un anneau intègre A dans un corps, l'injectivité est le critère décisif. Elle autorise le prolongement a/b ↦ f(a)/f(b) vers Frac(A). Si certains éléments non nuls doivent seuls devenir inversibles, une localisation plus restreinte est l'outil adapté.
À ne pas confondre
Un anneau quotient identifie des éléments dont la différence appartient à un idéal ; un corps des fractions rend tous les éléments non nuls inversibles. Ainsi, ℤ/6ℤ possède six classes, tandis que Frac(ℤ) = ℚ contient notamment 1/6.
Une localisation peut n'inverser qu'une partie des éléments. Le corps des fractions est la localisation d'un anneau intègre dans laquelle tous les éléments non nuls sont autorisés comme dénominateurs. Si seuls les puissances de 2 sont inversées dans ℤ, on n'obtient pas ℚ.
Une fraction rationnelle est un élément de k(X), donc un quotient de polynômes sur un corps k. Le terme « corps des fractions » désigne la construction générale ; pour A = ℤ, ses éléments sont les nombres rationnels, pas les fractions rationnelles en X.
Limites et pièges
Présence de diviseurs de zéro. Si A contient deux éléments non nuls dont le produit vaut zéro, A ne peut pas s'injecter dans un corps. Il n'a donc pas de corps des fractions au sens décrit ici. On peut plutôt localiser certains éléments non diviseurs de zéro, mais le résultat n'est généralement pas un corps.
Dénominateur nul. Une paire (a, 0) n'est jamais admise. Le produit croisé ne répare pas cette interdiction : autoriser (a, 0) détruirait l'interprétation de l'inverse et ferait identifier des écritures qui ne sont pas des fractions.
Représentant non unique. Une classe ne possède pas toujours une forme réduite canonique dans un anneau intègre quelconque. Les paires (2, 3) et (4, 6) sont égales dans Frac(ℤ), mais le calcul doit porter sur leur classe plutôt que supposer une simplification disponible dans tout anneau.
Morphisme non injectif. Si un élément non nul b de A est envoyé sur zéro, l'expression f(a)/f(b) n'a pas de sens. La propriété universelle annoncée exige donc un morphisme injectif vers le corps cible.
Pour aller plus loin
L'anneau intègre précise l'hypothèse qui empêche un produit de dénominateurs non nuls de s'annuler.
Le corps commutatif décrit la structure obtenue une fois tous les éléments non nuls rendus inversibles.
Les Rationnels donnent le cas fondamental Frac(ℤ) = ℚ et permettent de retrouver la construction sur un exemple familier.
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