AlgèbreNotion · Glossaire
Irréductible (élément)
« Irréductible » qualifie un objet qui ne peut être décomposé dans le cadre considéré. Dans un anneau intègre, un élément est irréductible s’il est non nul, non inversible et si toute factorisation comporte un facteur inversible ; pour un polynôme non constant sur un corps, cela exclut toute factorisation en deux polynômes non constants. Pour un endomorphisme ou une représentation, aucun sous-espace non nul et propre ne doit être stable ; en topologie, l’espace, supposé non vide, ne doit pas être la réunion de deux fermés propres.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Reconnaître les trois conditions d'un élément irréductible dans un anneau intègre.
- Tester l'irréductibilité de x² + 1 sur ℚ et expliquer son changement de statut sur ℂ.
- Distinguer irréductible, premier et indécomposable.
- Relier la même idée aux endomorphismes, représentations et espaces topologiques.
En clair
Prenons le polynôme x² + 1 et cherchons à le découper en deux facteurs plus simples. Avec des coefficients rationnels, aucune multiplication de deux polynômes du premier degré ne convient. Dans ce cadre, le polynôme est irréductible.
Le cadre compte autant que l'objet. Avec des coefficients complexes, x² + 1 possède les racines i et −i, puis se factorise. « Irréductible » signifie donc toujours : impossible à décomposer de la manière autorisée dans la structure choisie.
Définition
Dans un anneau intègre, un élément est irréductible s'il est non nul, non inversible et si toute écriture comme produit fait intervenir un facteur inversible. En notant a l'élément et u, v deux facteurs, le critère s'écrit : . Ici, A est l'anneau et A× désigne l'ensemble de ses éléments inversibles.
Un polynôme non constant sur un corps est irréductible lorsqu'il n'est pas le produit de deux polynômes non constants de degrés plus petits. Le corps doit être précisé : x² + 1 est irréductible sur le corps des rationnels ℚ, mais réductible sur le corps des complexes ℂ. Cette idée commune de décomposition minimale explique l'emploi du même adjectif dans plusieurs cadres.
Pour un endomorphisme d'un espace vectoriel, l'irréductibilité signifie qu'il n'existe aucun sous-espace stable autre que l'espace nul et l'espace entier. Pour une représentation d'un groupe, elle signifie de même qu'aucun sous-espace non nul et propre n'est stable sous tous les opérateurs de la représentation. En topologie, un espace non vide est irréductible lorsqu'il n'est pas la réunion de deux sous-espaces fermés propres.
Un exemple, pas à pas
On étudie le polynôme P défini par P(x) = x² + 1, avec des coefficients dans ℚ. Les données sont son degré 2, son coefficient dominant 1 et son terme constant 1. Pour un polynôme de degré 2, l'absence de racine dans le corps équivaut à l'irréductibilité.
1. Comme P est unitaire, toute racine rationnelle éventuelle est un diviseur entier de 1 : il suffit donc de tester 1 et −1.
2. Les deux évaluations donnent P(1) = 2 et P(−1) = 2.
3. Aucune des deux valeurs n'est nulle. P n'a donc pas de racine rationnelle et il est irréductible dans ℚ[x].
2. Les deux évaluations donnent P(1) = 2 et P(−1) = 2.
3. Aucune des deux valeurs n'est nulle. P n'a donc pas de racine rationnelle et il est irréductible dans ℚ[x].
Le même contrôle change sur ℂ : les nombres i et −i annulent P. La factorisation devient . Le polynôme est alors réductible dans ℂ[x].
Le contrôle est refaisable en développant le produit : les termes en x s'annulent et le produit de −i par i vaut 1. On retrouve exactement x² + 1.
En pratique
Pour un polynôme de degré 2 ou 3 sur un corps, on cherche d'abord une racine dans ce corps. S'il n'en existe aucune, le polynôme est irréductible ; à partir du degré 4, ce test seul ne suffit plus.
Pour un élément d'un anneau intègre, on écarte d'abord zéro et les éléments inversibles. On examine ensuite chaque factorisation possible : si les deux facteurs peuvent être non inversibles, l'élément est réductible.
Pour une représentation ou un endomorphisme, le geste pertinent consiste à chercher un sous-espace non nul et propre qui reste stable. En trouver un suffit à réfuter l'irréductibilité.
En topologie, on peut rechercher deux fermés propres dont la réunion couvre tout l'espace. Une telle couverture prouve que l'espace n'est pas irréductible ; son absence doit être établie pour toutes les paires de fermés propres.
À ne pas confondre
Élément irréductible et élément premier. Un élément premier divise nécessairement l'un des facteurs dès qu'il divise leur produit. Un élément irréductible ne possède seulement aucune factorisation en deux non-inversibles. Dans un anneau factoriel, les deux notions coïncident ; dans un anneau intègre quelconque, l'implication peut échouer.
Représentation irréductible et représentation indécomposable. Une représentation irréductible n'a aucun sous-espace invariant non trivial. Une représentation indécomposable peut en avoir, mais ne pas être une somme directe de deux sous-représentations non nulles. L'existence d'un sous-espace invariant propre tranche donc entre les deux critères.
Fraction irréductible et élément irréductible. Une fraction est dite irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur n'ont aucun facteur commun non inversible. Le mot qualifie alors l'écriture d'un quotient, et non chacun de ses deux termes.
Limites et pièges
Le cadre n'est pas facultatif. Dire seulement « x² + 1 est irréductible » est incomplet : le verdict est vrai dans ℚ[x] et faux dans ℂ[x]. Il faut toujours nommer le corps ou l'anneau de coefficients.
Zéro et les inversibles sont exclus. Ils peuvent apparaître dans des produits, mais ne sont pas des éléments irréductibles. Avant toute recherche de factorisation, il faut donc vérifier les trois conditions : non nul, non inversible et absence de produit de deux non-inversibles.
Le test des racines a une borne. Sur un corps, il caractérise l'irréductibilité aux degrés 2 et 3. Au degré 4 ou plus, un polynôme sans racine peut encore être le produit de deux polynômes de degré au moins 2 ; il faut alors rechercher d'autres factorisations.
Une décomposition en somme directe n'est pas l'unique obstruction. Pour une représentation, l'irréductibilité exige l'absence de tout sous-espace invariant non nul et propre. Vérifier seulement qu'aucune somme directe n'apparaît peut laisser passer une représentation réductible mais indécomposable.
Pour aller plus loin
L'article Irréductible (endomorphisme) approfondit le critère des sous-espaces stables pour un opérateur linéaire.
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