Irréductible (représentation)

Imaginez un espace de vecteurs sur lequel chaque élément d’un groupe agit comme une transformation. Une représentation est irréductible lorsqu’aucun morceau plus petit, non nul et différent de l’espace entier, ne reste fermé sous toutes ces transformations. Le critère porte donc sur l’absence de sous-espace stable propre non nul. Dans le plan réel, une rotation d’un quart de tour envoie toute droite vectorielle sur une autre droite : aucune droite ne suffit donc à former un sous-espace stable.

Soit G un groupe et V un espace vectoriel. Une représentation de G sur V associe à chaque élément g de G une transformation linéaire de V, de façon compatible avec la multiplication du groupe. Un sous-espace vectoriel W de V est dit stable s’il contient l’image de chacun de ses vecteurs par chacune de ces transformations.

La représentation est irréductible lorsqu’elle n’admet aucun sous-espace stable W autre que le sous-espace nul et V lui-même. Cette condition interdit une décomposition de l’action en sous-représentations non triviales. Elle dépend du corps de base : une même action peut être irréductible sur les réels et se décomposer après extension aux nombres complexes. Ici, « irréductible » désigne donc précisément l’absence de sous-espace stable propre non nul ; le support et la notion de sous-objet doivent être précisés selon le contexte.

Dans l’exemple conducteur, G est engendré par la rotation r d’un quart de tour du plan réel V. Une droite non nulle n’est pas stable, car r la transforme en une droite perpendiculaire. La représentation est donc irréductible sur les réels.

On rencontre cette notion quand un groupe agit sur un espace de vecteurs, par exemple par des rotations, des symétries ou des permutations. Pour reconnaître le support, il faut repérer le groupe G, l’espace vectoriel V et les transformations associées aux éléments de G. Il faut ensuite chercher un sous-espace W qui ne soit ni réduit au vecteur nul ni égal à V. Le test porte sur toutes les actions du groupe : si l’une d’elles sort W de lui-même, W ne constitue pas une sous-représentation. Une représentation irréductible décrit ainsi une action qui ne contient aucun morceau vectoriel autonome.

Pour examiner une représentation, on part du sous-espace candidat W, puis on vérifie sa stabilité sous les générateurs du groupe. Premièrement, on vérifie que W est bien un sous-espace vectoriel. Deuxièmement, on applique chaque transformation génératrice aux vecteurs de W. Troisièmement, on regarde si les images restent dans W ; la stabilité par les générateurs suffit lorsque ces générateurs engendrent G. Enfin, on écarte le sous-espace nul et V, qui sont toujours stables. Dans le plan réel soumis à un quart de tour, l’œil peut croire qu’une droite dessinée est un axe privilégié ; le bon réflexe est de transformer un vecteur de cette droite et de vérifier qu’il tombe sur la droite initiale, pas seulement de regarder sa position de départ.

Le référentiel est ici le plan réel, et la transformation agit autour de l’origine. Une droite passant par l’origine est le seul type de sous-espace propre non nul à tester dans ce plan.

Considérons le plan réel V et la rotation r d’un quart de tour autour de l’origine. Le groupe G est engendré par r. On teste une droite vectorielle W choisie par un vecteur non nul v. Les données sont les suivantes : W contient v ; r fait tourner v de 90 degrés ; la droite r(W) est perpendiculaire à W.

1. La droite W est un sous-espace propre non nul de V.
2. La rotation r envoie v sur un vecteur r(v) perpendiculaire à v.
3. Tout vecteur non nul de W est un multiple de v, donc son image est un multiple de r(v).
4. La droite portée par r(v) est différente de W.
5. W n’est donc pas stable sous r.

La même vérification vaut pour toute droite W du plan. Il n’existe donc aucun sous-espace stable propre non nul, et la représentation de G sur V est irréductible sur les réels. Le contrôle repose sur l’angle droit, qui est conservé par la rotation et ne dépend pas du choix du vecteur non nul.

La figure associée rend visible ce test : une droite candidate et son image ne coïncident pas.

En algèbre linéaire, on cherche d’abord les sous-espaces invariants d’une famille de transformations. S’il existe une droite ou un plan stable, l’action peut être représentée sous forme triangulaire par blocs dans une base adaptée. Elle ne se décompose en blocs indépendants que si l’on dispose aussi d’un supplémentaire stable. S’il n’existe aucun sous-espace propre non nul stable, l’étiquette irréductible signale qu’une telle réduction interne n’est pas disponible.

En théorie des représentations, les représentations irréductibles servent de briques pour analyser des actions plus grandes. Le geste concret reste un test de stabilité, mais le critère à privilégier dépend du corps de base et des générateurs effectivement connus.

Une représentation irréductible ne signifie pas qu’aucune base ne puisse être choisie, ni qu’aucune matrice ne puisse être simplifiée. Le critère porte sur les sous-espaces stables par toute l’action du groupe. Une représentation réductible possède au contraire un sous-espace stable propre non nul ; le cas de la rotation d’un quart de tour ne fournit pas une telle droite sur les réels.

Il ne faut pas non plus confondre « irréductible » avec « indécomposable ». Une représentation peut ne pas être une somme directe de deux sous-représentations non nulles tout en possédant un sous-espace stable propre. Le test de l’irréductibilité exige l’absence de tout sous-espace stable propre non nul, pas seulement l’absence d’une décomposition en somme directe.

Le corps de base est une limite essentielle. La rotation d’un quart de tour est irréductible sur le plan réel, mais sa matrice possède des valeurs propres complexes. Après passage aux nombres complexes, le plan complexe se décompose en deux droites propres, et l’action n’est plus irréductible. Il faut donc toujours préciser le corps avant de conclure.

Le sous-espace nul et l’espace entier sont toujours stables ; leur existence ne suffit jamais à établir la réductibilité. Un autre piège consiste à tester une seule transformation sans vérifier les générateurs de l’action. Pour conclure, il faut contrôler la stabilité sous l’ensemble qui engendre réellement le groupe, ou démontrer directement qu’aucun sous-espace candidat ne peut convenir.

Pour prolonger cette notion à un autre support, consultez Irréductible (endomorphisme) : la comparaison permet de voir comment le même mot désigne l’absence de sous-espace stable lorsqu’un seul endomorphisme agit, tandis qu’une représentation impose de considérer l’action de tout le groupe. Le critère reste précis seulement après identification du support et du corps de base.