AlgèbreNotion · Glossaire
Fidèle (opération)
Une action d'un groupe G sur un ensemble E est dite fidèle si l'homomorphisme de G dans le groupe des permutations de E est injectif : aucun élément non neutre n'agit trivialement sur E. De même, une représentation d'un groupe (ou d'une algèbre) sur un espace vectoriel est fidèle si son noyau est trivial, c'est-à-dire si deux éléments distincts ont des images distinctes. Dans les deux cas, la fidélité garantit que la structure algébrique est entièrement et fidèlement capturée par l'action ou la représentation.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Relier la fidélité à l'injectivité et au noyau trivial.
- Vérifier une action fidèle sur les quatre sommets d'un carré.
- Distinguer fidélité, liberté et irréductibilité.
- Reconnaître les cas dégénérés et l'effet d'une restriction du support.
En clair
Faites tourner un carré d'un quart de tour, d'un demi-tour ou de trois quarts de tour. En suivant le sommet A, on obtient chaque fois une position différente. Les quatre rotations, y compris celle qui ne bouge rien, restent donc reconnaissables par leur effet sur les sommets.
L'action est fidèle parce qu'elle ne confond aucun élément du groupe avec un autre. En particulier, seule la rotation neutre laisse tous les sommets à leur place.
Définition
Soit un groupe G qui agit sur un ensemble E. À chaque élément de G, l'action associe une permutation de E. Cette association est un homomorphisme, noté , où Sym(E) désigne le groupe des permutations de E. L'action est fidèle lorsque cet homomorphisme est injectif : deux éléments distincts de G produisent deux permutations distinctes.
Le noyau de l'action rassemble les éléments qui fixent tous les points de E. Si e désigne l'élément neutre de G, le critère équivalent s'écrit . Un élément peut donc fixer certains points sans empêcher la fidélité ; il ne doit pas les fixer tous.
Pour une représentation linéaire d'un groupe sur un espace vectoriel V, l'homomorphisme va de G vers le groupe GL(V) des transformations linéaires inversibles. La représentation est fidèle si son noyau est réduit à l'élément neutre. Pour une représentation d'une algèbre, la même idée devient l'injectivité de l'homomorphisme, avec un noyau réduit au vecteur nul de l'algèbre.
Un exemple, pas à pas
Considérons le groupe C4 des rotations d'un carré. Les données sont les quatre sommets A, B, C et D, rangés dans le sens horaire, et la rotation r d'un quart de tour dans ce même sens. Les éléments du groupe sont e, r, r2 et r3, où e ne déplace rien.
1. On suit seulement le sommet A.
2. L'élément e envoie A sur A.
3. La rotation r envoie A sur B, puis r2 l'envoie sur C.
4. Enfin, r3 envoie A sur D.
2. L'élément e envoie A sur A.
3. La rotation r envoie A sur B, puis r2 l'envoie sur C.
4. Enfin, r3 envoie A sur D.
Les quatre images de A sont distinctes. Les permutations associées aux quatre éléments sont donc elles aussi distinctes, ce qui prouve l'injectivité de l'action. Le contrôle est immédiat : aucun des trois éléments r, r2 et r3 ne fixe A, donc aucun n'agit trivialement sur tous les sommets. Le noyau contient seulement e et l'action est fidèle.
En pratique
Pour vérifier qu'une action est fidèle, on cherche les éléments qui fixent chaque point. Si seul l'élément neutre le fait, le noyau est trivial. Quand l'ensemble est fini et petit, comparer les permutations obtenues constitue une alternative directe.
Pour une représentation par matrices, on résout l'égalité entre la matrice associée à un élément et la matrice identité. La représentation est fidèle si cette égalité force l'élément à être neutre. Comparer toutes les matrices convient plutôt à un groupe fini déjà énuméré.
Si le noyau n'est pas trivial, la représentation ne distingue pas tous les éléments du groupe. On peut alors remplacer le groupe par son quotient par le noyau : le quotient obtenu agit fidèlement et décrit exactement les transformations effectivement observées.
À ne pas confondre
Action fidèle et action libre. Une action fidèle exige que chaque élément non neutre déplace au moins un point. Une action libre exige qu'il déplace tous les points. La rotation d'un carré est libre sur ses quatre sommets, mais l'action fidèle d'un groupe peut avoir des points fixes.
Représentation fidèle et représentation irréductible. La fidélité porte sur le noyau ; l'irréductibilité porte sur l'absence de sous-espace invariant propre non nul. Une représentation peut satisfaire l'une de ces propriétés sans satisfaire l'autre.
Permutations bijectives et action fidèle. Dans toute action de groupe, chaque élément agit déjà par une permutation bijective. La fidélité demande autre chose : l'application qui associe ces permutations aux éléments du groupe doit être injective.
Limites et pièges
Fixer un point ne suffit pas. Conclure qu'une action n'est pas fidèle parce qu'un élément non neutre fixe un point est une erreur. Il faut vérifier s'il fixe tous les points. S'il en déplace au moins un, cet élément n'appartient pas au noyau.
Ensemble vide ou singleton. Son groupe de permutations est trivial. Une action sur un tel ensemble n'est donc fidèle que si le groupe agissant est lui-même trivial. De même, sur un espace vectoriel de dimension zéro, seule une représentation d'un groupe trivial peut être fidèle.
Restriction du support. Une action fidèle sur E peut cesser de l'être sur une partie invariante de E. Il faut recalculer le noyau sur cette partie : des éléments auparavant distingués peuvent y produire la même permutation.
Convention sur les algèbres. Pour une représentation d'algèbre, le noyau doit être réduit à zéro. Les conditions portant sur l'unité dépendent toutefois de la convention choisie pour les homomorphismes ; elles ne remplacent jamais le test d'injectivité.
Pour aller plus loin
Action de groupe — Pour replacer la fidélité dans le mécanisme général qui associe une permutation à chaque élément du groupe.
Fidèle (représentation) — Pour approfondir la même propriété dans le cadre particulier des représentations linéaires.
Sous-représentation — Pour étudier les sous-espaces stables, une question indépendante de celle du noyau.
Irréductible (représentation) — Pour distinguer précisément irréductibilité et fidélité dans une représentation.
Explorez les mathématiques autrement
Retrouvez nos magazines, podcasts et jeux pour explorer les mathématiques autrement.
Découvrir les offres