morphisme - catégorie -

Prenez les six restes 0, 1, 2, 3, 4 et 5 modulo 6, puis ne gardez que leur reste modulo 3. Les nombres 0 et 3 donnent 0 ; 1 et 4 donnent 1 ; 2 et 5 donnent 2.

Cette transformation conserve l’addition : réduire une somme donne le même résultat qu’additionner les deux réductions. Un morphisme agit ainsi comme une traduction fidèle des opérations, même s’il peut regrouper plusieurs éléments de départ sous une même image.

Un morphisme, aussi appelé homomorphisme en algèbre, est une application entre deux structures d’une même espèce qui préserve les opérations retenues. Pour deux groupes G et H, dont les lois sont notées respectivement ∗ et ◦, une application f de G vers H est un morphisme de groupes lorsque, pour tous éléments a et b de G : $f(a\ast b)=f(a)\circ f(b)f(a*b)=f(a)\backslash circ\; f(b)$. Cette seule identité impose aussi que l’élément neutre de G soit envoyé sur celui de H et que l’image d’un inverse soit l’inverse de l’image.

Pour des anneaux unitaires A et B, un morphisme unitaire préserve l’addition, la multiplication et l’unité. Si 1_A et 1_B désignent leurs unités, les trois conditions sont : Certaines conventions n’exigent pas la conservation de l’unité ; il faut donc vérifier la définition adoptée. Pour un morphisme d’algèbres sur un même corps de scalaires, on demande en plus la compatibilité f(λa) = λf(a).

Le noyau rassemble les éléments envoyés sur l’élément neutre, tandis que l’image rassemble les valeurs effectivement atteintes. Ces deux ensembles renseignent sur les pertes et la portée du morphisme : un noyau réduit au seul neutre caractérise l’injectivité pour un morphisme de groupes, mais la préservation des opérations ne garantit à elle seule ni injectivité ni surjectivité.

Considérons le groupe additif ℤ/6ℤ des restes modulo 6 et le groupe additif ℤ/3ℤ des restes modulo 3. L’application f envoie la classe de l’entier n modulo 6 sur sa classe modulo 3. Les données sont les six classes de départ, les trois classes d’arrivée et l’addition dans chaque groupe.

1. L’application est bien définie : deux entiers congrus modulo 6 diffèrent d’un multiple de 6, donc aussi d’un multiple de 3. Ils ont la même classe modulo 3.

2. Vérifions l’opération. Pour toutes classes [a]₆ et [b]₆ : $f([a{]}_6+[b{]}_6)=[a+b{]}_3=[a{]}_3+[b{]}_{3}f([a]\_6+[b]\_6)=[a+b]\_3=[a]\_3+[b]\_3$. L’addition est donc préservée.

3. Les images sont f([0]₆) = f([3]₆) = [0]₃, f([1]₆) = f([4]₆) = [1]₃ et f([2]₆) = f([5]₆) = [2]₃. La figure montre ces trois regroupements.

4. Chaque classe d’arrivée est atteinte : f est surjective. En revanche, [0]₆ et [3]₆ ont la même image, donc f n’est pas injective. Son noyau est exactement {[0]₆, [3]₆}. Pour contrôler le calcul, [4]₆ + [5]₆ = [3]₆ est envoyé sur [0]₃, comme [1]₃ + [2]₃.

Pour vérifier qu’une application entre groupes est un morphisme, prenez deux éléments généraux et comparez l’image de leur produit avec le produit de leurs images. Tester quelques valeurs peut révéler un échec, mais seule l’identité générale établit la propriété.

Pour étudier ce que la transformation perd, calculez son noyau. Dans l’exemple modulo 6, deux classes distinctes aboutissent à [0]₃ ; si l’objectif exige de retrouver chaque entrée, une application injective, voire un isomorphisme, est préférable.

Pour un morphisme d’anneaux, contrôlez séparément l’addition, la multiplication et, selon la convention, l’unité. Une application qui conserve seulement l’addition est un morphisme des groupes additifs, pas encore un morphisme d’anneaux.

Morphisme et isomorphisme. Un isomorphisme est un morphisme bijectif ; son application réciproque respecte alors aussi la structure. La réduction de ℤ/6ℤ vers ℤ/3ℤ est surjective mais non injective : c’est un morphisme, pas un isomorphisme.

Morphisme et application quelconque. Une application associe seulement une sortie à chaque entrée. Un morphisme doit en plus préserver les opérations. De ℤ vers ℤ, l’application n ↦ n + 1 est bien une application, mais elle ne conserve pas l’addition puisque l’image de 0 n’est pas 0.

Morphisme algébrique et morphisme de catégorie. En théorie des catégories, un morphisme est une flèche autorisée entre deux objets ; sa nature dépend de la catégorie. Dans la catégorie des groupes, ces flèches sont précisément les morphismes de groupes, mais dans d’autres catégories elles peuvent être des fonctions continues ou d’autres transformations.

Structures incompatibles. Écrire f(a ∗ b) n’a de sens que si ∗ est bien une opération de la structure de départ et si l’opération correspondante existe à l’arrivée. Avant tout calcul, nommez les deux structures et les lois que f doit préserver.

Vérification sur quelques éléments. Plusieurs essais réussis ne prouvent pas l’identité pour tous les éléments. Un seul contre-exemple suffit à réfuter le morphisme ; pour conclure positivement, utilisez des éléments généraux ou un ensemble de générateurs avec les relations nécessaires.

Convention sur l’unité. Selon les auteurs, un morphisme d’anneaux doit ou non envoyer 1_A sur 1_B. Par exemple, l’application de ℤ vers ℤ × ℤ qui envoie n sur (n, 0) préserve addition et multiplication, mais envoie 1 sur (1, 0), et non sur l’unité (1, 1) du produit. Il faut annoncer la convention avant d’utiliser un théorème sur les anneaux unitaires.

Formule sur des représentants. Pour des classes d’équivalence, une expression peut dépendre du représentant choisi et ne définir aucune application. Dans l’exemple, la réduction modulo 3 est valide parce qu’un changement par un multiple de 6 ne change pas le reste modulo 3 ; ce contrôle doit précéder celui des opérations.

Isomorphisme (théorème d') — Relier noyau, image et quotient pour décrire précisément ce qu’un morphisme identifie et ce qu’il conserve.

application linéaire — Étudier un morphisme d’espaces vectoriels, où addition et multiplication par un scalaire doivent être préservées.

De l’algèbre « concrète » à l’algèbre « abstraite » — Situer les morphismes dans le passage des calculs particuliers à l’étude des structures communes.