homomorphisme - algèbre générale -

Imaginez une machine qui traduit des calculs d'un système vers un autre. Vous pouvez d'abord combiner deux objets, puis les traduire. Vous pouvez aussi les traduire séparément, puis les combiner à l'arrivée. Si les deux chemins donnent toujours le même résultat, cette machine est un homomorphisme.

L'application peut regrouper plusieurs objets de départ sous une même image. Elle ne conserve donc pas nécessairement chaque détail : elle conserve avant tout la manière de calculer.

L'intuition des deux chemins se traduit par le critère formel suivant. Un homomorphisme est une application entre deux structures algébriques de même nature qui respecte leurs opérations. Supposons que l'ensemble de départ G possède une loi interne notée ∗ et que l'ensemble d'arrivée G' possède la loi correspondante notée ⊤. Une application f de G vers G' est un homomorphisme lorsque, pour tous les éléments x et y de G, elle satisfait l'identité suivante.

Cette identité signifie que composer dans G puis appliquer f revient à appliquer f à chaque élément puis composer dans G'. Pour une structure comportant plusieurs opérations, la compatibilité doit être vérifiée pour chacune des opérations correspondantes. Par exemple, un homomorphisme d'anneaux respecte les deux opérations d'addition et de multiplication, selon la convention retenue pour les éléments neutres. Pour un type de structures algébriques fixé, notamment par une signature donnée, les homomorphismes en sont les morphismes ; les lois précises à préserver dépendent du type de structure considéré.

Considérons les entiers modulo 6 au départ et les entiers modulo 3 à l'arrivée, tous deux munis de l'addition. L'application f associe à la classe d'un entier modulo 6 sa classe modulo 3. Prenons les classes de 4 et de 5 modulo 6.

1. Additionnons d'abord au départ : la classe de 4 plus la classe de 5 est la classe de 9, donc la classe de 3 modulo 6.

2. Appliquons f à ce résultat : la classe de 3 modulo 6 devient la classe de 0 modulo 3.

3. Suivons l'autre chemin : f envoie la classe de 4 sur la classe de 1 modulo 3, et la classe de 5 sur la classe de 2. Leur somme est encore la classe de 0 modulo 3.

Les deux calculs coïncident. Le même raisonnement vaut pour toute paire de classes, car réduire une somme modulo 3 donne le même résultat avant ou après la réduction modulo 6. Pour contrôler l'exemple, on peut aussi essayer les classes de 2 et de 5 : les deux chemins aboutissent à la classe de 1 modulo 3.

Pour comparer deux calculs algébriques, on cherche une application qui transporte les opérations. Si elle respecte chaque loi requise, un calcul effectué au départ peut être traduit sans changer ses relations algébriques. Une application quelconque reste préférable lorsque cette compatibilité n'est pas nécessaire.

Avec des groupes, on teste la conservation de la loi du groupe. L'exemple des classes modulo 6 vers les classes modulo 3 montre aussi que plusieurs éléments peuvent avoir la même image. Si l'on doit pouvoir revenir à un unique élément de départ, il faut exiger davantage qu'un homomorphisme.

Avec des anneaux, vérifier seulement l'addition ne suffit pas : la multiplication doit également être préservée. Le type de structure indique donc la liste des opérations à contrôler avant de conclure.

Application quelconque. Une application associe une image à chaque élément, sans devoir respecter une opération. Si une seule paire x et y contredit l'identité de compatibilité, l'application n'est pas un homomorphisme.

Isomorphisme. Un isomorphisme est un homomorphisme bijectif dont l'inverse respecte aussi la structure. Dans l'exemple modulo 6 vers modulo 3, les classes de 1 et de 4 ont la même image : l'application n'est donc pas un isomorphisme.

Morphisme au sens catégorique. Le mot morphisme dépend de la catégorie choisie. Dans une catégorie de structures algébriques, les morphismes sont les applications compatibles prescrites ; dans une autre catégorie, ils peuvent obéir à d'autres règles.

Une loi vérifiée ne suffit pas toujours. Pour un anneau, une application compatible avec l'addition peut échouer pour la multiplication. Il faut tester séparément toutes les opérations exigées par la structure et préciser la convention concernant les éléments neutres.

Les lois doivent se correspondre. L'écriture f(x ∗ y) = f(x) ⊤ f(y) suppose que ∗ et ⊤ jouent le même rôle dans les deux structures. Comparer arbitrairement l'addition au départ avec la multiplication à l'arrivée ne démontre pas la compatibilité recherchée.

Une définition sur des classes doit être bien définie. Deux représentants de la même classe de départ doivent avoir la même image. Dans l'exemple, deux entiers égaux modulo 6 sont aussi égaux modulo 3, ce qui rend l'application f légitime.

Préserver la loi n'impose ni injectivité ni surjectivité. Un homomorphisme peut identifier plusieurs éléments ou ne pas atteindre toute la structure d'arrivée. Ces propriétés doivent être contrôlées séparément lorsqu'elles sont nécessaires.

homomorphisme de groupes — Pour appliquer la compatibilité à une seule loi de groupe et en examiner les conséquences propres.

morphisme - catégorie - — Pour replacer l'homomorphisme dans le langage plus général des objets et des morphismes.