AlgèbreObjet mathématique · Glossaire
Isomorphisme de groupe
Un isomorphisme de groupes est un homomorphisme bijectif entre deux groupes, dont l'inverse est aussi un homomorphisme. Deux groupes isomorphes ont exactement la même structure algébrique : toute propriété exprimée en termes d'opérations de groupe est partagée. L'isomorphisme est la notion d'équivalence naturelle pour les groupes. La classification des groupes consiste à identifier tous les groupes à isomorphisme près. Par exemple, tous les groupes cycliques d'ordre n sont isomorphes entre eux pour un n donné.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier les deux conditions qui font d’un homomorphisme un isomorphisme.
- Vérifier pas à pas l’isomorphisme entre ℤ/4ℤ et les racines quatrièmes de l’unité.
- Distinguer isomorphisme, homomorphisme, automorphisme et égalité de groupes.
- Repérer les raccourcis valables seulement pour des groupes finis.
En clair
Prenez quatre positions numérotées 0, 1, 2 et 3 sur un cadran. Les additionner modulo 4 revient à tourner d’un certain nombre de quarts de tour. On peut renommer ces positions 1, i, −1 et −i : les rotations s’y combinent alors par multiplication.
Les noms et l’opération écrite changent, mais toutes les combinaisons se correspondent. Une telle traduction réversible, qui respecte l’opération, est un isomorphisme de groupes. Deux groupes isomorphes sont donc deux présentations de la même structure algébrique.
Définition
Soient G et H deux groupes, dont les lois sont notées respectivement ∗ et ◦. Une application f de G vers H est un isomorphisme si elle respecte les lois et si elle est bijective. La conservation de l’opération signifie que, pour tous éléments x et y de G, . La bijectivité signifie que chaque élément de H est l’image d’un unique élément de G.
L’application f est alors un homomorphisme de groupes bijectif. Son application inverse, de H vers G, respecte automatiquement les opérations : elle est elle aussi un homomorphisme. On écrit G ≅ H. Les éléments neutres se correspondent, ainsi que les inverses, les produits et l’ordre de chaque élément.
L’isomorphisme ne dit pas que G et H ont les mêmes éléments ni que leurs lois portent le même symbole. Il affirme que leur organisation par l’opération de groupe est identique. C’est pourquoi la classification regroupe les groupes à isomorphisme près. En particulier, pour tout entier n strictement positif, tous les groupes cycliques d’ordre n sont isomorphes.
De quoi c'est fait
Un isomorphisme met en jeu cinq données liées. Le groupe de départ G fournit les éléments x et y et leur produit x ∗ y. Le groupe d’arrivée H fournit les images et sa propre loi ◦. L’application f associe un élément de H à chaque élément de G. La propriété d’homomorphisme impose que calculer avant ou après l’application donne le même résultat. Enfin, la bijectivité garantit une correspondance un à un et permet de revenir par l’inverse de f.
La conservation de la loi seule ne suffit donc pas : elle définit un homomorphisme, qui peut perdre ou manquer des éléments. La bijectivité seule ne suffit pas davantage, car une simple permutation peut détruire les produits. Ensemble, ces deux conditions suffisent à transporter toute relation construite avec la loi, le neutre et les inverses.
Un exemple, pas à pas
Considérons le groupe additif des classes modulo 4, noté ℤ/4ℤ, et le groupe multiplicatif U = {1, i, −1, −i}. Pour une classe notée [k], définissons l’application f par . Les quatre données sont [0], [1], [2], [3], envoyées respectivement sur 1, i, −1, −i.
1. L’application est bien définie : remplacer k par k + 4 ne change pas ik, car i4 = 1.
2. Elle respecte l’opération : pour toutes classes [a] et [b], .
3. Les quatre images 1, i, −1 et −i sont distinctes et épuisent U : f est bijective.
4. L’inverse renvoie 1, i, −1, −i sur [0], [1], [2], [3].
2. Elle respecte l’opération : pour toutes classes [a] et [b], .
3. Les quatre images 1, i, −1 et −i sont distinctes et épuisent U : f est bijective.
4. L’inverse renvoie 1, i, −1, −i sur [0], [1], [2], [3].
Ainsi, ℤ/4ℤ et U sont isomorphes. Un contrôle refaisable consiste à additionner [1] et [2] : on obtient [3]. Du côté de U, les images correspondantes vérifient i × (−1) = −i, qui est précisément l’image de [3]. Le schéma expose les quatre correspondances utilisées par ce contrôle.
En pratique
Pour montrer que deux groupes décrivent la même structure, on propose une application, puis on vérifie séparément la conservation de la loi et la bijectivité. Si la bijectivité est difficile à établir directement, on peut étudier quels éléments ont pour image le neutre et quels éléments sont effectivement atteints.
Pour classer des groupes, on cherche des propriétés préservées par isomorphisme : le nombre d’éléments, les ordres des éléments ou le caractère cyclique. Si l’une diffère, aucun isomorphisme n’existe ; si elles coïncident, il reste encore à construire ou à justifier une correspondance.
Pour effectuer un calcul, on peut passer vers une présentation isomorphe où l’opération est plus familière, calculer, puis revenir par l’application inverse. Dans l’exemple, une addition modulo 4 devient une multiplication de puissances de i.
À ne pas confondre
Un homomorphisme respecte la loi, mais il n’est pas nécessairement bijectif. Par exemple, l’application qui envoie tout entier sur la classe [0] modulo 4 conserve l’addition, mais elle n’atteint pas [1], [2] ni [3] : ce n’est pas un isomorphisme.
Un automorphisme est un isomorphisme d’un groupe vers lui-même. L’isomorphisme de l’exemple relie au contraire ℤ/4ℤ à U, deux ensembles distincts ; il ne s’agit donc pas d’un automorphisme de ℤ/4ℤ.
L’égalité de deux groupes exige les mêmes éléments et la même loi. L’isomorphisme autorise des éléments et des notations différents. Ainsi, ℤ/4ℤ n’est pas égal à U, même si l’application [k] ↦ ik montre que ces groupes sont isomorphes.
Limites et pièges
Deux groupes de même nombre d’éléments ne sont pas forcément isomorphes. Le symptôme est une propriété structurelle différente, comme l’ordre de certains éléments. Il faut comparer de tels invariants avant de chercher une bijection qui respecte la loi.
Une bijection choisie au hasard ne prouve rien sur les groupes. Il faut tester l’identité pour tous les éléments concernés, ou établir un argument général qui la garantit. Un seul produit mal transporté réfute l’isomorphisme proposé.
Pour des groupes finis de même ordre, un homomorphisme injectif est automatiquement surjectif, et réciproquement. Ce raccourci ne vaut pas sans l’hypothèse de finitude : l’application n ↦ 2n est un homomorphisme injectif du groupe additif des entiers vers lui-même, mais les entiers impairs ne sont pas atteints.
Demander séparément que l’inverse soit un homomorphisme n’ajoute pas une condition indépendante. Dès que f est un homomorphisme bijectif, si u = f(x) et v = f(y), alors l’inverse envoie u ◦ v = f(x ∗ y) sur x ∗ y. Il reste néanmoins utile de nommer cet inverse, car il rend le transport réversible.
Pour aller plus loin
homomorphisme de groupes — Pour isoler la conservation de la loi avant d’exiger la bijectivité.
groupe cyclique — Pour approfondir les groupes engendrés par un élément et leur classification par l’ordre.
Groupe quotient — Pour voir comment un sous-groupe normal produit un nouveau groupe et intervient dans les théorèmes d’isomorphisme.
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