AlgèbreObjet mathématique · Glossaire
groupe cyclique
Un groupe cyclique est un groupe engendré par un seul de ses éléments. Dans le cas fini, un groupe G de cardinal n est cyclique s'il existe un élément a dans G, appelé générateur, tel que tout élément de G puisse s'écrire sous la forme aᵏ pour un certain entier k. L'entier n est l'ordre du groupe, et a est un élément d'ordre n. On dit également qu'un tel groupe est monogène fini. À isomorphisme près, il n'existe qu'un seul groupe cyclique d'ordre n pour chaque entier n ≥ 1, noté ℤ/nℤ ou Cₙ. Le groupe additif ℤ/nℤ des entiers modulo n en est le modèle canonique. Tout sous-groupe d'un groupe cyclique est lui-même cyclique. Les groupes cycliques sont abéliens. Ils interviennent notamment en arithmétique (groupe des classes d'entiers modulo n) et en théorie des nombres (structure multiplicative des corps finis).
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Définir un groupe cyclique et son générateur en notations multiplicative et additive.
- Vérifier pas à pas que 1 engendre le groupe additif ℤ/6ℤ.
- Distinguer groupe cyclique, groupe fini, groupe abélien et ordre d’un élément.
- Repérer les cas limites liés au groupe trivial, aux faux générateurs et au zéro d’un corps fini.
En clair
Imaginez une horloge à six positions, numérotées de 0 à 5. En partant de 0 et en ajoutant toujours 1, on visite 1, 2, 3, 4, 5, puis on revient à 0. Le même geste répété suffit à atteindre toutes les positions.
C’est l’idée d’un groupe cyclique : un seul élément, appelé générateur, produit tout le groupe lorsqu’on répète l’opération. Le mot « cyclique » décrit cette génération par un élément ; le groupe peut former une boucle finie ou se prolonger à l’infini.
Définition
Soit un groupe G muni d’une opération, et soit a un élément de G. Le groupe est cyclique s’il existe un tel élément a dont toutes les puissances entières donnent exactement les éléments de G. Cet élément est un générateur. On écrit alors . En notation additive, les puissances ak deviennent les multiples k·a.
Si G est fini d’ordre n, un générateur a est d’ordre n : ses n premières puissances distinctes épuisent le groupe, puis le parcours recommence. À isomorphisme près, ce groupe est Cn, ou le groupe additif ℤ/nℤ des entiers modulo n. On parle aussi de groupe monogène fini. La notion n’est toutefois pas limitée au cas fini : le groupe additif ℤ est cyclique, engendré par 1 ou par −1.
Tout groupe cyclique est abélien, car deux puissances d’un même générateur commutent. Tout sous-groupe d’un groupe cyclique est encore cyclique. Ces propriétés expliquent le rôle de ces groupes en arithmétique et, pour les éléments non nuls d’un corps fini, en théorie des nombres.
De quoi c'est fait
Un groupe cyclique réunit quatre données essentielles. Le groupe G fournit les éléments et l’opération. Le générateur a est l’élément choisi pour produire les autres. L’exposant entier k compte les répétitions de l’opération, les exposants négatifs utilisant l’inverse de a. Enfin, l’ordre indique le nombre d’éléments lorsque le groupe est fini.
L’opération détermine la lecture de la génération : on écrit ak dans un groupe multiplicatif, mais k·a dans un groupe additif. Dans le cas fini, l’ordre n impose an = e, où e désigne l’élément neutre, et aucune puissance strictement comprise entre 1 et n ne redonne e. Ces données suffisent à reconstruire la table du groupe et à calculer tout produit en ramenant les exposants modulo n.
Un exemple, pas à pas
Prenons le groupe additif ℤ/6ℤ. Ses données sont les six classes 0, 1, 2, 3, 4 et 5 ; l’opération est l’addition modulo 6 ; le candidat générateur est la classe 1.
1. Partons de l’élément neutre 0 et ajoutons 1 une première fois : 0 + 1 = 1 modulo 6.
2. Répétons la même addition : 2·1 = 2, 3·1 = 3, 4·1 = 4 et 5·1 = 5 modulo 6. Chaque classe apparaît une fois.
3. À la sixième addition, 6·1 = 0 modulo 6. Le parcours complet forme donc une boucle de six transitions, sans retour anticipé à 0.
Ainsi, 1 engendre ℤ/6ℤ et son ordre vaut 6. Pour contrôler le résultat, on recompte les valeurs distinctes obtenues avant le retour à 0 : il y en a exactement six, soit le cardinal du groupe.
En pratique
En arithmétique modulo n, représenter les classes par un groupe cyclique ramène les additions à un parcours périodique. Pour une addition répétée, ce modèle est plus direct qu’une liste de calculs indépendants : le retour à 0 révèle aussitôt la période.
Dans un groupe fini, on teste un générateur candidat en répétant l’opération jusqu’au retour à l’élément neutre. Si tous les éléments ont été visités, le candidat engendre le groupe. Si le retour arrive trop tôt, il faut essayer un autre élément ou renoncer à conclure que le groupe est cyclique.
Dans un corps fini, la multiplication concerne le groupe des éléments non nuls. On utilise sa structure cyclique pour écrire chaque élément non nul comme une puissance d’un générateur ; l’addition reste une autre opération et inclut, elle, zéro.
À ne pas confondre
Groupe cyclique et groupe fini. « Cyclique » signifie engendré par un seul élément, pas nécessairement fini. Le groupe additif ℤ est infini et cyclique, tandis que le groupe ℤ/2ℤ × ℤ/2ℤ est fini mais aucun de ses éléments n’engendre les quatre éléments.
Groupe cyclique et groupe abélien. Tout groupe cyclique est abélien, mais la réciproque est fausse. Dans ℤ/2ℤ × ℤ/2ℤ, l’addition commute, pourtant tout élément non nul revient à 0 après deux additions.
Ordre du groupe et ordre d’un élément. L’ordre du groupe est son nombre d’éléments. L’ordre d’un élément est le premier nombre positif de répétitions qui redonne le neutre. Dans ℤ/6ℤ, le groupe a ordre 6, mais l’élément 2 a ordre 3.
Limites et pièges
Cas d’ordre 1. Le groupe trivial ne contient que l’élément neutre. Cet unique élément l’engendre et possède l’ordre 1 : C1 est donc bien cyclique, même si aucune boucle non triviale n’apparaît.
Un élément quelconque n’est pas forcément générateur. Dans ℤ/6ℤ, 2 ne visite que 0, 2 et 4. Pour une classe r de ℤ/nℤ, il faut vérifier que le plus grand commun diviseur de r et n vaut 1 ; pour n = 6, les générateurs sont 1 et 5.
La notation dépend de l’opération. Écrire ak convient à une loi multiplicative ; dans ℤ/6ℤ additif, il faut lire k·a. Mélanger les deux conduit à calculer des produits ordinaires au lieu d’additions répétées modulo 6.
Dans un corps fini, zéro est exclu du groupe multiplicatif. Zéro n’a pas d’inverse et ne peut appartenir à un groupe pour la multiplication. La propriété cyclique porte donc sur les éléments non nuls, pas sur le corps entier muni de la multiplication.
Pour aller plus loin
groupe - structure algébrique - — Revoir les axiomes communs à tous les groupes avant d’étudier le cas engendré par un seul élément.
congruence modulo n — Relier le calcul dans ℤ/nℤ à la relation de congruence qui identifie les entiers de même reste.
Isomorphisme (théorème d') — Préciser en quel sens tous les groupes cycliques finis de même ordre ont la même structure.
Les débuts des groupes — Situer l’émergence de la théorie des groupes dans son histoire mathématique.
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