AlgèbreThéorème · Glossaire
lemme de Cauchy
En algèbre, le lemme (ou théorème) de Cauchy pour les groupes abéliens finis énonce : si G est un groupe abélien fini et p un diviseur premier du cardinal de G, alors G contient au moins un élément d'ordre p. Ce résultat est un cas particulier du théorème de Cauchy, lui-même généralisé par les théorèmes de Sylow. Il garantit l'existence d'éléments d'ordres premiers dans tout groupe abélien fini.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier les hypothèses exactes de la version abélienne du lemme.
- Vérifier sur ℤ/12ℤ que la classe [4] est d'ordre 3.
- Distinguer existence, unicité et généralisation par les théorèmes de Cauchy et de Sylow.
- Reconnaître pourquoi un diviseur composé ne bénéficie pas de la même garantie.
En clair
Imaginez douze positions disposées comme sur une horloge. En avançant chaque fois de quatre positions, on revient au départ après trois pas : 0, 4, 8, puis 0. Ce trajet forme un petit cycle de longueur 3.
Le lemme de Cauchy affirme qu'un phénomène de ce type doit exister dès qu'un nombre premier divise la taille d'un groupe abélien fini. Comme 3 divise 12, un élément parcourant un cycle de trois étapes est garanti.
Définition
Le lemme de Cauchy est un résultat d'existence en théorie des groupes. Il concerne un groupe abélien G, c'est-à-dire un groupe dont la loi est commutative, et suppose que G possède un nombre fini d'éléments. Ce nombre, appelé cardinal ou ordre du groupe, se note |G|.
L'ordre d'un élément x est le plus petit entier strictement positif n tel que la répétition n fois de x donne l'élément neutre. En notation multiplicative, cette condition s'écrit , où e désigne l'élément neutre. Si un nombre premier p divise |G|, le lemme garantit l'existence d'au moins un élément x dont l'ordre vaut p.
Cette formulation abélienne est un cas particulier du théorème de Cauchy, qui donne la même conclusion pour tout groupe fini, même non commutatif. Les théorèmes de Sylow prolongent cette existence en étudiant les sous-groupes associés aux puissances de nombres premiers.
Le principe
Soit G un groupe abélien fini, et soit p un nombre premier. Si p divise le cardinal |G|, alors il existe dans G un élément x d'ordre p. Autrement dit, x n'est pas l'élément neutre et l'application répétée p fois de la loi du groupe à x donne le neutre pour la première fois. Le résultat affirme une existence ; il ne précise ni l'élément à choisir ni le nombre de solutions.
Quand l'utiliser
La version appelée lemme ici demande trois vérifications : G est un groupe, son cardinal |G| est fini, et sa loi est commutative. Le nombre p doit être premier et diviser exactement |G|. Ces hypothèses donnent un élément d'ordre p, donc aussi un sous-groupe cyclique comportant p éléments.
Si p ne divise pas |G|, le lemme ne conclut rien. Par exemple, dans le groupe additif des classes modulo 10, le nombre premier 3 ne divise pas 10 et aucun élément n'a pour ordre 3. Pour étudier un entier composé, il faut calculer les ordres ou employer un résultat adapté : la seule divisibilité de cet entier par |G| ne suffit pas.
Un exemple, pas à pas
Prenons le groupe additif des classes d'entiers modulo 12. Le schéma représente ses douze classes comme les positions d'un cadran et suit les additions successives de la classe [4].
Données.
Groupe : ℤ/12ℤ, avec l'addition.
Cardinal : |G| = 12.
Nombre premier choisi : p = 3.
Élément testé : la classe [4].
Groupe : ℤ/12ℤ, avec l'addition.
Cardinal : |G| = 12.
Nombre premier choisi : p = 3.
Élément testé : la classe [4].
Étape 1. Le nombre 3 est premier et 12 = 3 × 4. Il divise donc le cardinal du groupe, comme l'exige le lemme.
Étape 2. Additionnons trois fois la classe [4].
Étape 3. Une addition donne [4] et deux additions donnent [8] ; aucune de ces classes n'est [0]. Le premier retour à l'élément neutre se produit donc à la troisième addition. L'ordre de [4] vaut 3. Contrôle : le trajet [0] → [4] → [8] → [0] comporte exactement trois pas.
En pratique
Pour chercher un élément d'ordre premier dans un groupe abélien fini, on commence par factoriser son cardinal. Chaque facteur premier repéré fournit, grâce au lemme, une existence certaine avant même le calcul explicite des éléments.
Pour réfuter une structure proposée, on confronte cette garantie aux ordres réellement possibles. Si le cardinal annoncé est divisible par p mais qu'aucun élément d'ordre p ne peut exister dans la structure décrite, celle-ci ne peut pas être le groupe prétendu.
Lorsque la question porte sur le nombre, la taille ou l'organisation des sous-groupes associés à p, le lemme devient trop peu précis. Les théorèmes de Sylow sont alors l'outil adapté, car ils prolongent la simple garantie d'existence.
À ne pas confondre
Le théorème de Cauchy général. Il donne la même existence dans tout groupe fini, sans supposer la commutativité. Le groupe des permutations de trois objets, qui n'est pas abélien, relève du théorème général plutôt que de la version restreinte présentée comme lemme.
Le théorème de Lagrange. Celui-ci part d'un élément ou d'un sous-groupe déjà donné et impose une divisibilité de son ordre par |G|. Le lemme de Cauchy va dans l'autre sens pour un diviseur premier : à partir de p, il garantit un élément d'ordre p.
Les autres résultats portant le nom de Cauchy. Le domaine tranche l'ambiguïté. Une question sur un groupe fini et l'ordre de ses éléments relève du présent résultat ; une équation différentielle, une intégrale complexe ou une inégalité renvoie à une autre notion.
Limites et pièges
Un diviseur composé ne suffit pas. Dans le groupe abélien ℤ/2ℤ × ℤ/2ℤ, le cardinal vaut 4, mais tout élément non neutre est d'ordre 2. Le diviseur 4 ne produit donc aucun élément d'ordre 4 ; il faut conserver l'hypothèse que p est premier.
L'existence n'est pas l'unicité. Le même groupe ℤ/2ℤ × ℤ/2ℤ possède trois éléments d'ordre 2. Le lemme en garantit au moins un, sans fournir leur nombre ni désigner un élément privilégié.
La finitude est indispensable à cet énoncé. Pour un groupe infini, le cardinal fini à factoriser disparaît et la condition « p divise |G| » n'a plus le sens utilisé ici. Il faut alors examiner directement les éléments de torsion ou employer un autre résultat.
La commutativité limite seulement cette version. L'échec de l'hypothèse abélienne bloque l'usage du lemme tel qu'il est formulé, mais pas la conclusion mathématique : le théorème de Cauchy général traite aussi les groupes finis non commutatifs.
Pour aller plus loin
Ordre d'un élément — Approfondir le calcul du premier retour à l'élément neutre utilisé dans l'énoncé et dans l'exemple modulo 12.
théorème de Cauchy — Passer de la version abélienne au résultat valable pour tous les groupes finis.
théorèmes de Sylow — Étudier les sous-groupes associés aux puissances de nombres premiers, au-delà de la seule existence d'un élément.
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