P-groupe

Prenons huit positions numérotées de 0 à 7 et additionnons leurs numéros en revenant à 0 après 7. Ces huit positions forment un groupe : chaque addition reste dans l'ensemble, 0 ne change rien et chaque position possède une position qui la ramène à 0.

Comme 8 vaut 2³, ce groupe est un 2-groupe. La lettre p signale qu'un seul nombre premier, ici 2, suffit à construire le nombre total d'éléments.

Un p-groupe est un groupe fini dont l'ordre, c'est-à-dire le nombre d'éléments, est une puissance d'un nombre premier. Pour un groupe non trivial, si la lettre p désigne ce nombre premier, il existe un entier strictement positif n tel que $\mathrm{\mid }G\mathrm{\mid }=p^n|G|=p^n$, où G désigne le groupe. Selon la convention qui autorise l'exposant nul, le groupe trivial d'ordre 1 est aussi regardé comme un p-groupe pour tout nombre premier p.

Dans un groupe fini plus grand, un p-sous-groupe est un sous-groupe qui est lui-même un p-groupe. Un sous-groupe de Sylow est maximal parmi ces p-sous-groupes. Le nombre premier doit rester fixé pendant toute la comparaison.

Tout p-groupe non trivial possède un centre non trivial : au moins un élément autre que l'identité commute avec tous les autres. Sa série centrale descendante finit par atteindre le sous-groupe trivial ; on dit donc que le groupe est nilpotent. Enfin, tout groupe d'ordre p² est abélien, mais les puissances supérieures peuvent porter plusieurs structures et leur classification devient difficile.

Quatre données structurent la notion. Le groupe G fournit un ensemble fini et une loi de composition. Son ordre compte les éléments. Le nombre premier p choisit l'unique facteur premier autorisé. L'exposant n indique combien de fois ce facteur intervient dans l'ordre. La loi, et pas seulement le nombre d'éléments, détermine ensuite les sous-groupes, le centre et le caractère abélien.

Dans le groupe cyclique à huit éléments, l'addition modulo 8 relie ces données. Les sous-groupes engendrés par 2 puis par 4 comptent respectivement 4 puis 2 éléments. Ils forment une chaîne emboîtée jusqu'au seul élément 0. Cette chaîne rend visible la diminution par puissances de 2 ; elle ne suffit toutefois pas à classer tous les groupes de même ordre.

Considérons l'ensemble des huit classes de restes 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 et 7, muni de l'addition modulo 8. Les données sont donc un ensemble de 8 éléments, l'addition comme loi et le retour à 0 après 7.

1. La loi est bien interne : par exemple, 5 + 6 donne le reste 3 modulo 8. L'élément neutre est 0 et l'opposé de 3 est 5.

2. L'ordre du groupe est 8. Sa décomposition n'utilise qu'un nombre premier : $8=2^{3}8=2^3$.

3. Le groupe est donc un 2-groupe. Comme l'addition est commutative, son centre contient ses huit éléments.

Le contrôle est refaisable sans connaître la table entière : comptez les huit restes, factorisez 8, puis constatez que l'unique facteur premier obtenu est 2.

Pour reconnaître un p-groupe fini, on compte ses éléments puis on factorise cet ordre. Si un seul facteur premier apparaît, la notion s'applique ; si plusieurs apparaissent, il faut chercher plutôt ses p-sous-groupes.

Dans un groupe fini qui n'est pas un p-groupe, on examine les sous-groupes de Sylow pour étudier sa structure p-primaire à travers un p-sous-groupe de cardinal maximal, pour un nombre premier fixé. Le critère est la maximalité : aucun p-sous-groupe strictement plus grand ne doit le contenir.

Pour contrôler une description de groupe, le centre fournit un test rapide. Un p-groupe non trivial annoncé avec un centre réduit à l'identité signale une erreur dans l'ordre, la loi ou le calcul du centre.

Un p-groupe est le groupe entier ; un p-sous-groupe est un sous-groupe d'un groupe ambiant. Dans un groupe d'ordre 6, un sous-groupe d'ordre 2 peut être un 2-sous-groupe sans que le groupe d'ordre 6 soit un 2-groupe.

Un p-sous-groupe n'est pas automatiquement un sous-groupe de Sylow. Le second doit être maximal parmi les p-sous-groupes : s'il est contenu strictement dans un p-sous-groupe plus grand, il n'est pas de Sylow.

Avoir un ordre divisible par p ne suffit pas à faire un p-groupe. L'ordre 12 est divisible par 2, mais il contient aussi le facteur premier 3 ; un groupe d'ordre 12 n'est donc pas un 2-groupe.

Le cas d'ordre 1 dépend de la convention sur les puissances. Si l'on autorise p⁰, le groupe trivial est un p-groupe pour tout nombre premier p. Il faut donc annoncer cette convention lorsqu'elle change le domaine étudié.

Le nombre premier p ne varie pas à l'intérieur d'un même raisonnement. Passer de 2 à 3 change la famille de sous-groupes examinée ; il faut recommencer le test d'ordre avec le nouveau nombre premier.

Un centre non trivial ne signifie pas que tout le groupe est abélien. Le bon test de commutativité consiste à vérifier que le centre coïncide avec le groupe entier, et non qu'il contient seulement un élément autre que l'identité.

L'ordre p² force le groupe à être abélien, mais cette propriété ne fournit pas une classification générale. Pour des puissances supérieures, il faut étudier la loi, le centre et les sous-groupes au lieu de conclure à partir du seul ordre.

Le glossaire P-sylow prolonge l'étude vers les p-sous-groupes maximaux d'un groupe fini.

La fiche Centre d'un groupe précise l'ensemble des éléments qui commutent avec tout le groupe et le test associé.