théorèmes de Sylow

Prenons un groupe fini qui compte 12 opérations et observons le nombre premier 2. Parmi les puissances de 2, les nombres 2 et 4 divisent 12, mais pas 8. La plus grande puissance utile est donc 4. Les théorèmes de Sylow garantissent l'existence de sous-groupes de 2 et de 4 opérations.

Ils disent aussi que les symétries internes du groupe permettent de passer de l'un à l'autre de ses sous-groupes maximaux de 4 opérations : c'est ce que signifie ici « être conjugués ». Leur nombre est en outre impair. Ces contraintes révèlent une partie de l'organisation du groupe sans devoir dresser toute sa table d'opérations.

Les théorèmes de Sylow s'appliquent à un groupe fini G. Soit p un nombre premier qui divise l'ordre de G. L'entier k est l'exposant de p dans la décomposition de cet ordre ; autrement dit, p^k divise l'ordre de G, mais p^{k + 1} ne le divise pas. Un p-sous-groupe de Sylow est un sous-groupe de G dont l'ordre vaut cette puissance maximale p^k.

Le premier théorème garantit, pour chaque entier α compris entre 1 et k, l'existence d'au moins un sous-groupe d'ordre p^α. Le cas α = 1 retrouve le théorème de Cauchy. Le deuxième affirme que tous les p-sous-groupes de Sylow sont conjugués dans G ; ils sont donc isomorphes et ont tous l'ordre p^k.

Notons n_p le nombre de p-sous-groupes de Sylow. Le troisième théorème impose $n_p\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p)n\_p\; \backslash equiv\; 1\; \backslash pmod\; p$. Il affirme aussi que tout sous-groupe dont l'ordre est une puissance p^α, avec 1 ≤ α ≤ k, est contenu dans au moins un p-sous-groupe de Sylow. Existence, conjugaison, dénombrement et inclusion fournissent ainsi des contraintes complémentaires sur la structure de G.

Considérons un groupe fini G d'ordre 12 et le nombre premier p = 2. Les données sont l'ordre 12, le premier 2 et les puissances successives 2, 4 et 8. Le schéma organise les conclusions que les théorèmes autorisent sans supposer une forme particulière pour G.

1. On décompose l'ordre : 12 = 2² × 3. La plus grande puissance de 2 qui divise 12 est donc 2² = 4.

2. Le premier théorème garantit un sous-groupe d'ordre 2 et un sous-groupe d'ordre 4. Ceux d'ordre 4 sont exactement les 2-sous-groupes de Sylow.

3. Le deuxième théorème assure que tous les 2-sous-groupes de Sylow de G sont conjugués, donc isomorphes.

4. Si n₂ compte ces sous-groupes, le troisième théorème donne n₂ ≡ 1 modulo 2. Leur nombre est donc impair.

Le résultat certain est l'existence des ordres 2 et 4, ainsi que la conjugaison et la parité impaire des sous-groupes maximaux. Le contrôle arithmétique se refait immédiatement : 4 divise 12, tandis que 8 ne le divise pas.

Pour commencer l'étude d'un groupe d'ordre donné, on factorise cet ordre. Pour chaque diviseur premier p, on repère sa plus grande puissance et l'on obtient aussitôt l'ordre des p-sous-groupes de Sylow dont l'existence est garantie. Cette voie remplace avantageusement l'énumération aveugle de tous les sous-groupes possibles.

Lorsque d'autres informations montrent qu'il n'existe qu'un seul p-sous-groupe de Sylow, la conjugaison donne un test structurel : ce sous-groupe reste inchangé par toute conjugaison dans G. S'il en existe plusieurs, on conserve plutôt leur conjugaison commune comme contrainte.

Pour situer un sous-groupe dont l'ordre est une puissance de p, on cherche un p-sous-groupe de Sylow qui le contient. Cette inclusion ramène l'étude locale à des sous-groupes maximaux pour la puissance de p considérée.

Un p-sous-groupe n'est pas toujours un p-sous-groupe de Sylow. Le premier a pour ordre une puissance de p ; le second atteint la plus grande puissance de p qui divise l'ordre du groupe. Dans un groupe d'ordre 12 avec p = 2, un sous-groupe d'ordre 2 est un 2-sous-groupe, tandis qu'un sous-groupe d'ordre 4 est un 2-sous-groupe de Sylow.

Le théorème de Cauchy et les théorèmes de Sylow n'ont pas la même portée. Cauchy garantit un élément d'ordre p lorsque p divise l'ordre du groupe. Sylow traite aussi la puissance maximale p^k, la conjugaison, le nombre et l'inclusion des sous-groupes correspondants.

Le cadre est celui des groupes finis. Pour un groupe infini, l'ordre du groupe ne fournit pas une plus grande puissance de p à extraire ; il faut employer des résultats adaptés au cadre considéré au lieu d'appliquer cet énoncé.

Le nombre premier p doit diviser l'ordre de G. Si p ne le divise pas, il n'existe aucun exposant k ≥ 1 répondant aux hypothèses, et la conclusion sur les sous-groupes d'ordre p^α ne s'applique pas.

La congruence n_p ≡ 1 modulo p ne donne pas, à elle seule, une valeur unique. Pour p = 2, elle impose seulement un nombre impair. Il faut donc combiner cette contrainte avec d'autres informations sur le groupe avant d'annoncer un dénombrement exact.

Dans la terminologie usuelle, la valuation p-adique de l'ordre de G est l'exposant k ; la puissance p^k est la plus grande puissance de p qui divise cet ordre. Distinguer l'exposant de la puissance évite de remplacer k par p^k dans les bornes sur α.

Le glossaire P-sylow approfondit l'objet maximal auquel les trois théorèmes appliquent existence, conjugaison et dénombrement.

Le théorème de Cauchy isole le premier seuil d'existence, celui d'un élément d'ordre p.

L'article La classification des groupes finis simples situe ces contraintes dans un vaste programme de description des groupes finis.