théorème de Cauchy

Imaginez quatre problèmes : suivre une fonction autour d’une boucle, retrouver sa valeur au centre, repérer un élément dans un groupe fini ou décider si une suite se resserre. Le nom « théorème de Cauchy » peut mener à chacun d’eux.

Le bon réflexe consiste donc à regarder le décor mathématique. En analyse complexe, une fonction dite holomorphe est dérivable au voisinage de chaque point du domaine étudié : associée à un contour, elle signale cette branche. Un nombre premier et un groupe signalent l’algèbre ; des termes qui deviennent arbitrairement proches signalent les suites.

« Théorème de Cauchy » est un nom partagé par plusieurs résultats. En analyse complexe, le théorème intégral affirme, dans sa forme usuelle, que l’intégrale d’une fonction holomorphe le long d’un contour fermé est nulle lorsque la fonction est holomorphe sur un domaine contenant le contour et son intérieur. La formule intégrale va plus loin : pour un point a intérieur à un contour simple C, régulier par morceaux et orienté dans le sens direct, elle reconstruit la valeur de la fonction f en a à partir des valeurs prises sur C : $f(a)=\frac{1}{2\pi i}{\oint }_C\frac{f(z)}{z-a}dzf(a)=\backslash frac\{1\}\{2\backslash pi\; i\}\backslash oint\_C\backslash frac\{f(z)\}\{z-a\}\backslash ,dz$.

En théorie des groupes, si le nombre premier p divise le nombre d’éléments d’un groupe fini G, alors G contient un élément d’ordre p. Autrement dit, répéter p fois l’opération du groupe avec cet élément ramène à l’élément neutre, et aucun nombre positif plus petit ne le fait.

Pour les suites dans un espace muni d’une distance, une suite est dite de Cauchy lorsque ses termes finissent par être aussi proches entre eux qu’on le souhaite. Toute suite convergente est de Cauchy. La réciproque caractérise les espaces complets : dans un tel espace, toute suite de Cauchy converge vers un point de cet espace.

En analyse complexe, si f est holomorphe sur un domaine qui contient un contour fermé C et son intérieur, alors ${\oint }_{C}f(z)dz=0\backslash oint\_C\; f(z)\backslash ,dz=0$. Si C est simple, régulier par morceaux et orienté dans le sens direct, et si a est intérieur à C, la formule intégrale donne $f(a)=\frac{1}{2\pi i}{\oint }_C\frac{f(z)}{z-a}dzf(a)=\backslash frac\{1\}\{2\backslash pi\; i\}\backslash oint\_C\backslash frac\{f(z)\}\{z-a\}\backslash ,dz$.

En algèbre, si un nombre premier p divise l’ordre d’un groupe fini G, alors G possède un élément d’ordre p. Pour une suite dans un espace complet, être de Cauchy équivaut à converger.

Le vocabulaire indique d’abord le domaine. Pour le théorème intégral et la formule intégrale, il faut une fonction holomorphe et un contour fermé ; dans la forme élémentaire donnée ici, l’holomorphie doit couvrir le contour et toute la région qu’il enferme. La formule suppose en outre un contour simple, régulier par morceaux et orienté dans le sens direct. Si la fonction présente une singularité à l’intérieur, la conclusion « intégrale nulle » ne s’applique pas telle quelle.

Pour les groupes, G doit être fini et p doit être premier et diviser exactement le nombre d’éléments de G. Si p ne divise pas cet ordre, le théorème ne conclut rien sur l’existence d’un élément d’ordre p.

Pour la réciproque du critère des suites, l’espace doit être complet. Dans un espace non complet, une suite peut être de Cauchy sans avoir de limite dans l’espace considéré ; il faut alors travailler dans un espace complet qui le contient.

Quatre énoncés courts permettent de choisir le bon résultat. Les données sont une fonction f définie par f(z) = z², le cercle unité C parcouru dans le sens direct, la suite u_n = 1/n et le groupe des entiers modulo 6.

1. La fonction z² est holomorphe sur le cercle et son intérieur. Le théorème intégral donne donc ${\oint }_C{z}^{2}dz=0\backslash oint\_C\; z^2\backslash ,dz=0$.

2. La formule intégrale au point 0 reconstruit f(0) à partir du même cercle : $f(0)=\frac{1}{2\pi i}{\oint }_C\frac{z^2}{z}dz=0f(0)=\backslash frac\{1\}\{2\backslash pi\; i\}\backslash oint\_C\backslash frac\{z^2\}\{z\}\backslash ,dz=0$.

3. Les termes 1/n se rapprochent entre eux et la suite converge vers 0 ; elle est donc de Cauchy. Le contrôle est direct : pour deux indices m et n assez grands, |1/m − 1/n| devient aussi petit que voulu.

4. Le nombre premier 3 divise 6. Dans le groupe additif des entiers modulo 6, la classe de 2 est d’ordre 3, car 2 + 2 + 2 donne 0 modulo 6, alors qu’une ou deux additions ne donnent pas 0.

Devant une intégrale sur une boucle, on vérifie l’holomorphie sur toute la région enfermée. Si elle est acquise, le théorème intégral évite un calcul direct.

Lorsque la valeur cherchée est celle d’une fonction holomorphe en un point intérieur, la formule intégrale est l’outil adapté : elle relie cette valeur aux valeurs sur le bord.

Dans un groupe fini, on factorise son ordre. Chaque diviseur premier fournit, par le théorème de Cauchy, l’existence d’un élément ayant cet ordre premier.

Pour une suite dont la limite n’est pas encore connue, on peut comparer les termes entre eux. Dans un espace complet, prouver qu’ils satisfont le critère de Cauchy suffit à établir la convergence.

Théorème de Cauchy-Lipschitz. Il concerne l’existence et l’unicité de solutions d’équations différentielles. La présence d’une condition initiale et d’une dérivée inconnue le distingue des contours, des groupes et des suites traités ici.

Inégalité de Cauchy-Schwarz. Elle compare un produit scalaire aux normes de deux vecteurs. Une expression avec deux vecteurs et leurs longueurs renvoie à cette inégalité, non au théorème intégral de Cauchy.

Théorème intégral et formule intégrale. Le premier conclut qu’une certaine intégrale sur un contour fermé est nulle. La seconde reconstruit la valeur f(a) et comporte le noyau 1/(z − a).

Un contour fermé ne suffit pas. Si la fonction n’est pas holomorphe en un point intérieur, l’intégrale peut ne pas être nulle. Il faut repérer les singularités avant d’appliquer la forme élémentaire du théorème intégral.

Le point doit être intérieur. Dans la formule intégrale, le point a ne peut pas être placé sur le contour, car le dénominateur z − a s’y annulerait. Il faut choisir un contour qui ne passe pas par a.

La complétude est décisive. Être de Cauchy ne garantit une limite dans l’espace considéré que si celui-ci est complet. Sans cette hypothèse, la suite peut tendre vers un point absent de l’espace.

Le théorème de groupes affirme une existence. Il garantit au moins un élément d’ordre p, mais ne le désigne pas. Un calcul dans le groupe reste nécessaire pour l’identifier.

La fonction holomorphe précise la régularité au cœur du théorème intégral et de la formule intégrale de Cauchy.

La suite de Cauchy développe le critère de rapprochement des termes et le rôle exact de la complétude.