intégrale de Cauchy

Imaginez un point qui suit une courbe dans le plan complexe. À chaque position, une fonction complexe lui associe une valeur. L’intégrale de Cauchy additionne ces valeurs tout au long du trajet, en tenant compte à la fois de la vitesse et de la direction du point.

Le chemin transforme ainsi un problème à deux dimensions en un calcul suivant un paramètre réel. Revenir au point de départ ne garantit pas que l’intégrale soit nulle : la fonction et la manière dont le trajet entoure ses singularités comptent.

Un chemin complexe est une application c d’un intervalle réel [t₀, t₁] vers un ouvert Ω du plan complexe. Il est supposé continu et continûment dérivable par morceaux. Une fonction f, à valeurs complexes, doit être définie sur un domaine contenant l’image c([t₀, t₁]) et y être continue.

L’intégrale de Cauchy de f le long de c est l’intégrale réelle, à valeurs complexes, obtenue après paramétrage : Le facteur c′(t) encode la vitesse et la direction du parcours. L’intégrale de droite est calculée en intégrant séparément ses parties réelle et imaginaire.

Un changement de paramètre régulier qui conserve l’orientation ne change pas la valeur. Inverser l’orientation change son signe. Lorsque le chemin fermé est contenu dans un domaine simplement connexe sur lequel f est holomorphe, le théorème de Cauchy donne une intégrale nulle.

On rencontre cette intégrale devant une courbe orientée du plan complexe, souvent dessinée avec des flèches. Le trajet possède un point de départ, un point d’arrivée et un paramètre réel. Il peut être ouvert ou revenir à son point de départ. Sa formule contient f(c(t)), qui lit la fonction sur la courbe, et c′(t), qui porte le sens du déplacement.

Ce support encode donc davantage que la forme visible de la courbe : il encode aussi son orientation et, avant simplification, sa vitesse de parcours. La figure du cercle unité illustre ces marqueurs avec le point de départ 1 et le sens trigonométrique.

La grandeur recherchée est un nombre complexe, et non une aire ordinaire. Pour lire un calcul, on procède dans cet ordre.
1. On repère l’intervalle du paramètre et le sens dans lequel c(t) parcourt la courbe.
2. On remplace z par c(t) dans la fonction f.
3. On multiplie par la dérivée c′(t), puis on intègre entre t₀ et t₁.
4. On interprète ensemble les parties réelle et imaginaire du résultat.

Une courbe fermée peut sembler ne produire aucun bilan puisqu’elle revient à son départ. Cette impression est trompeuse : pour f(z) = 1/z, le cercle unité parcouru dans le sens trigonométrique donne 2πi. Le bon réflexe consiste à examiner la fonction sur et à l’intérieur du contour, ainsi que l’orientation du parcours.

On calcule l’intégrale de la fonction f définie par f(z) = 1/z sur le cercle unité parcouru une fois dans le sens trigonométrique. Les données sont : le paramètre t varie de 0 à 2π ; le chemin est c(t) = cos(t) + i sin(t) ; sur ce chemin, c(t) n’est jamais nul.

1. La forme exponentielle du chemin est $c(t)=e^{it}c(t)=e^\{it\}$.
2. Sa dérivée est $c^{\mathrm{\prime }}(t)=i{e}^{it}c\text{'}(t)=i\; e^\{it\}$.
3. La fonction composée vaut $f(c(t))=e^{-it}f(c(t))=e^\{-it\}$.
4. Le produit à intégrer est donc constant : $f(c(t))c^{\mathrm{\prime }}(t)=if(c(t))c\text{'}(t)=i$.

Le calcul final donne Le résultat exact est 2πi. Pour le contrôler, on inverse le sens du cercle : la même procédure doit alors donner −2πi.

Pour calculer directement une intégrale le long d’une courbe, on choisit un paramétrage, on compose la fonction avec ce chemin et on multiplie par sa dérivée. Cette voie est préférable lorsqu’un paramétrage simple rend l’intégrande immédiat.

Pour un contour fermé et une fonction holomorphe dans un domaine simplement connexe qui contient le contour et son intérieur, le théorème de Cauchy peut remplacer le calcul : l’intégrale est nulle. Si une singularité se trouve dans la région entourée, cette conclusion n’est plus disponible.

Pour comparer deux chemins de mêmes extrémités, la présence d’une primitive de f sur le domaine est décisive : l’intégrale ne dépend alors que des extrémités. Sans cette garantie, il faut conserver l’information du trajet.

L’intégrale de Cauchy n’est pas l’inégalité de Cauchy–Schwarz sous forme intégrale. La première intègre une fonction complexe le long d’un chemin orienté ; la seconde borne la valeur d’une intégrale par des normes. La présence d’un paramétrage c(t) et du facteur c′(t) tranche en faveur de l’intégrale curviligne complexe.

Elle ne se confond pas non plus avec la formule intégrale de Cauchy. L’intégrale de Cauchy est l’opération générale le long d’un chemin ; la formule intégrale est un théorème qui reconstitue les valeurs d’une fonction holomorphe à partir d’une intégrale sur un contour.

Un chemin seulement continu ne suffit pas à la définition donnée : c′(t) doit exister par morceaux. Il faut alors choisir un paramétrage continûment dérivable par morceaux ou employer une théorie d’intégration plus générale.

La fonction doit être continue sur l’image du chemin. Dans l’exemple f(z) = 1/z, la fonction n’est pas définie si le chemin passe par 0 : il faut modifier le chemin ou traiter la singularité avec un autre cadre.

Fermé ne signifie pas nul. Sur le cercle unité, 1/z donne 2πi parce que 0, où la fonction n’est pas holomorphe, est entouré. Pour appliquer le théorème de Cauchy, il faut vérifier l’holomorphie sur un domaine approprié, et pas seulement sur le contour.

Parcourir le même contour en sens inverse multiplie l’intégrale par −1 ; le parcourir deux fois multiplie sa valeur par 2. Il faut donc lire l’orientation et la multiplicité du parcours, pas uniquement le tracé géométrique.

Le théorème de Cauchy précise quand l’intégrale sur un contour fermé s’annule. La notion de fonction holomorphe expose la régularité complexe exigée par ce résultat.

L’article Aux origines de l’analyse complexe replace ces outils dans leur développement mathématique. L’entrée Intégrale curviligne élargit enfin la perspective aux intégrales calculées le long de courbes.