théorème des résidus

Imaginez un contour fermé tracé dans le plan complexe autour de quelques points où une fonction n’est pas définie. Au lieu de calculer la fonction tout le long du contour, on peut concentrer le calcul sur ces points singuliers.

Chaque point entouré fournit un nombre, son résidu. Le théorème additionne ces nombres, tient compte du nombre de tours et de leur sens, puis multiplie la somme par 2πi. Un point laissé à l’extérieur ne contribue pas.

Le théorème des résidus calcule une intégrale curviligne complexe à partir des singularités isolées de la fonction. Soit U un ouvert simplement connexe du plan complexe. Une fonction f y est supposée holomorphe, c’est-à-dire dérivable au sens complexe, sauf en un nombre fini de points z₁, …, z_n. Le contour γ est un lacet rectifiable contenu dans U et ne passe par aucun de ces points.

Le résidu de f en z_k, noté $\mathrm{Res}(f,z_k)\backslash operatorname\{Res\}(f,z\_k)$, est le coefficient du terme $(z-z_k{)}^{-1}(z-z\_k)^\{-1\}$ dans le développement local de Laurent. L’indice ${\mathrm{Ind}}_{\gamma }(z_k)\backslash operatorname\{Ind\}\_\{\backslash gamma\}(z\_k)$ compte algébriquement les tours de γ autour de z_k. Il vaut 1 pour un tour direct, 0 pour un point non entouré et −1 pour un tour horaire.

L’intégrale est 2πi fois la somme des résidus pondérés par ces indices. Sans singularité entourée, la somme est nulle : on retrouve le cas du théorème intégral de Cauchy.

Si f est holomorphe sur un ouvert simplement connexe U, sauf en un nombre fini de singularités isolées z₁, …, z_n, et si le lacet rectifiable γ contenu dans U n’en traverse aucune, alors :

Pour chaque point z_k, l’indice du lacet est défini par :Seuls les points d’indice non nul contribuent à l’intégrale.

Le cadre est un ouvert simplement connexe U du plan complexe. La fonction doit être holomorphe dans U hors d’un nombre fini de singularités isolées, et le lacet γ doit être fermé, rectifiable et entièrement contenu dans U. Aucun point singulier ne peut appartenir au tracé de γ. Il faut enfin connaître, pour chaque singularité, son résidu et l’indice du lacet autour d’elle.

Si un pôle se trouve exactement sur le contour, l’intégrale curviligne usuelle y rencontre une valeur non définie et le théorème ne s’applique pas directement. Il faut alors choisir et justifier un contour qui évite le pôle, ou employer une autre notion d’intégrale adaptée au problème.

Considérons la fonction $f(z)=\frac{1}{z(z-2)}f(z)=\backslash frac\{1\}\{z(z-2)\}$ et le cercle unité γ, parcouru une fois dans le sens direct. Les données sont les deux pôles 0 et 2, le rayon 1 et l’orientation antihoraire. Le schéma matérialise le pôle entouré et celui qui reste à l’extérieur.

1. Le cercle entoure 0 une fois et n’entoure pas 2. Les indices sont donc ${\mathrm{Ind}}_{\gamma }(0)=1\backslash operatorname\{Ind\}\_\{\backslash gamma\}(0)=1$ et ${\mathrm{Ind}}_{\gamma }(2)=0\backslash operatorname\{Ind\}\_\{\backslash gamma\}(2)=0$.

2. Le pôle 0 est simple. Son résidu se calcule en supprimant le facteur qui s’annule :

3. Le pôle 2 a un indice nul, donc son résidu ne contribue pas. Le théorème donne exactement :

4. Pour contrôler le résultat, on décompose $f(z)=-\frac{1}{2z}+\frac{1}{2(z-2)}f(z)=-\backslash frac\{1\}\{2z\}+\backslash frac\{1\}\{2(z-2)\}$. Le second terme est holomorphe à l’intérieur du cercle et son intégrale est nulle ; le premier fournit bien −πi.

Pour intégrer une fonction rationnelle sur un contour fermé, on repère ses pôles, on calcule leurs résidus, puis on garde ceux dont l’indice est non nul. Une primitive est préférable lorsqu’elle existe sur tout le domaine parcouru et rend le calcul immédiat.

Pour certaines intégrales réelles, on complète l’axe réel par un arc dans le plan complexe. Cette voie est utile lorsque l’intégrale sur l’arc peut être contrôlée ; sinon, une méthode réelle directe est plus sûre.

Quand un contour fait plusieurs tours ou change d’orientation, on ne se contente pas de classer les pôles en « dedans » et « dehors ». On calcule leur indice, car lui seul encode correctement la multiplicité et le sens des tours.

Théorème intégral de Cauchy. Il conclut à une intégrale nulle lorsque la fonction est holomorphe dans le domaine concerné. Le théorème des résidus traite au contraire des singularités isolées : dans l’exemple, le pôle 0 impose la valeur −πi au lieu de 0.

Résidu et singularité. Une singularité est un point où la fonction cesse d’être holomorphe ; le résidu est un coefficient associé à son comportement local. Pour $\frac{1}{z(z-2)}\backslash frac\{1\}\{z(z-2)\}$, 0 est une singularité tandis que −1/2 est son résidu.

Singularité sur le contour. Si le dénominateur s’annule en un point de γ, l’intégrande n’y est pas définie. Il ne faut pas lui attribuer arbitrairement un indice : le contour ou la notion d’intégrale doit être modifié et justifié.

Orientation oubliée. Un tour direct donne l’indice 1, tandis qu’un tour horaire donne −1. Inverser le sens du cercle de l’exemple remplacerait donc −πi par πi.

Somme de tous les résidus. Un pôle extérieur peut avoir un résidu non nul mais un indice nul. Le pôle 2 de l’exemple doit être pondéré par 0, et non ajouté comme s’il était entouré.

Hypothèses de domaine. La version énoncée ici suppose un ouvert simplement connexe et un nombre fini de singularités isolées. Dans un domaine troué ou avec une accumulation de singularités, il faut employer une formulation plus générale et en vérifier les hypothèses.

Le glossaire résidu détaille le coefficient local qui porte la contribution de chaque singularité.

La fiche Indice d'un lacet approfondit le nombre de tours algébrique utilisé pour pondérer les résidus.

Le théorème intégral de Cauchy présente le cas sans singularité entourée, où l’intégrale s’annule.

L’article Aux origines de l’analyse complexe replace les outils de Cauchy dans le développement de la discipline.