ArithmétiqueNotion · Glossaire
Indice d'un lacet
L'indice d'un lacet (ou nombre d'enroulement) est un entier qui mesure combien de fois un lacet orienté dans le plan complexe tourne autour d'un point donné. Pour un lacet gamma et un point z_0 n'appartenant pas à l'image du lacet, l'indice est donné par l'intégrale (1/(2*pi*i)) * intégrale de gamma de dz/(z - z_0). Cet entier est constant sur chaque composante du complémentaire du tracé et vaut 0 dans la composante non bornée ; pour un lacet avec croisements, il peut aussi être nul dans une composante bornée. L'indice joue un rôle central dans la formule intégrale de Cauchy et dans la théorie du résidu.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Interpréter le signe et la valeur entière de l’indice.
- Calculer l’indice du cercle unité autour de l’origine.
- Reconnaître les cas où le point est sur le tracé ou les enroulements se compensent.
- Relier l’indice à la formule de Cauchy et aux résidus.
En clair
Imaginez un élastique fermé posé sur une feuille et un point qui ne touche pas l’élastique. En suivant le tracé dans son sens, comptez les tours complets effectués autour du point. Un tour dans le sens inverse des aiguilles d’une montre compte +1 ; un tour dans l’autre sens compte −1. Le total est l’indice du lacet, aussi appelé nombre d’enroulement.
Le cercle de l’exemple entoure l’origine une fois dans le sens positif : son indice vaut donc 1. Déformer le tracé sans le faire passer sur le point ne change pas ce nombre.
Définition
Un lacet est ici une courbe fermée orientée du plan complexe, paramétrée par une application γ suffisamment régulière par morceaux. On choisit un point z0 qui n’appartient pas à son image. L’indice Ind(γ, z0) mesure algébriquement l’enroulement de γ autour de z0 : le sens trigonométrique apporte des tours positifs et le sens horaire des tours négatifs.
Sa définition intégrale est
Dans cette formule, i est l’unité imaginaire, dz suit le déplacement orienté sur le lacet et le dénominateur compare chaque point z du tracé au point z0. Sous ces hypothèses, le résultat est toujours un entier.
L’indice est constant sur chaque composante connexe du complémentaire du tracé. Il vaut 0 dans la composante non bornée. Pour un lacet simple parcouru une fois dans le sens trigonométrique, il vaut 1 à l’intérieur et 0 à l’extérieur ; un lacet avec croisements peut produire d’autres entiers, y compris 0 dans une zone bornée.
Un exemple, pas à pas
Considérons le cercle unité parcouru une fois dans le sens trigonométrique. Les données sont le paramètre réel t compris entre 0 et 2π, le lacet γ(t) = eit et le point z0 = 0. Le point choisi n’est jamais sur le cercle, puisque tout point du cercle est à distance 1 de l’origine.
1. Le long du cercle, z = eit et dz = i eit dt.
2. Comme z0 = 0, le quotient dz/(z − z0) se simplifie en i dt.
3. L’intégrale devient .
4. On divise ce résultat par 2πi.
2. Comme z0 = 0, le quotient dz/(z − z0) se simplifie en i dt.
3. L’intégrale devient .
4. On divise ce résultat par 2πi.
On obtient exactement . Le contrôle géométrique donne le même résultat : quand t va de 0 à 2π, l’argument de γ(t) augmente exactement de 2π, soit un tour positif complet.
En pratique
Pour une courbe simple dessinée, on peut d’abord suivre son orientation et compter les tours autour du point. Si le tracé se croise ou repasse plusieurs fois dans une zone, le calcul intégral remplace ce comptage visuel devenu ambigu.
Dans la formule intégrale de Cauchy, l’indice indique combien de fois le contour pondère la valeur d’une fonction au point considéré. Si le point est dans la composante non bornée du complémentaire, l’indice nul signale que cette contribution disparaît.
Sous les hypothèses du théorème des résidus — fonction méromorphe sur un domaine contenant le contour et les régions considérées, singularités isolées, contour suffisamment régulier ne passant par aucune singularité et intégrale définie — chaque résidu reçoit comme coefficient l’indice du contour autour de la singularité correspondante. Un contour simple positif donne souvent le coefficient 1 ; avec plusieurs tours ou une orientation inversée, il faut conserver l’entier réel du lacet.
À ne pas confondre
L’indice n’est pas la longueur du lacet. Deux courbes de tailles très différentes ont le même indice autour de z0 si l’une se déforme en l’autre sans traverser ce point ; leur longueur, elle, peut changer.
Il ne faut pas non plus le confondre avec la variation totale parcourue par l’angle. L’indice retient la variation algébrique nette divisée par 2π : un tour positif suivi d’un tour négatif donne 0, même si le tracé a effectivement accompli deux tours.
Enfin, un résidu appartient à une fonction méromorphe en une singularité, tandis que l’indice appartient à un lacet orienté et à un point hors du tracé. Dans le théorème des résidus, ces deux nombres interviennent ensemble mais jouent des rôles distincts.
Limites et pièges
Si z0 se trouve sur le tracé, le dénominateur z − z0 s’annule : l’intégrale définissant l’indice n’est pas définie sous cette forme. Il faut déplacer le point ou le contour, ou employer un autre cadre d’intégration explicitement justifié.
« À l’intérieur » ne garantit pas un indice non nul pour un lacet qui se croise. Deux boucles de sens opposés peuvent entourer une même zone et se compenser. Le bon réflexe consiste à suivre la variation algébrique de l’argument, et non à regarder seulement si la zone paraît enfermée.
Pour un chemin non fermé, le point final peut avoir un argument différent sans que cette variation soit un multiple de 2π. On n’obtient alors pas nécessairement un entier invariant : la définition d’indice présentée ici exige bien un lacet fermé.
Inverser l’orientation change le signe sans changer le dessin géométrique. Ainsi, le cercle unité de l’exemple parcouru une fois dans le sens horaire a pour indice −1 autour de 0, et non 1.
Pour aller plus loin
La formule de Cauchy montre comment l’indice pondère la valeur d’une fonction holomorphe selon l’enroulement du contour autour du point.
La notion de résidu prolonge ce rôle : une intégrale sur un lacet combine les résidus des singularités avec leurs indices respectifs.
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