AnalyseNotion · Glossaire
Trou
En analyse complexe, un trou d'une fonction analytique peut désigner un point isolé où la fonction n'est pas définie, mais qui est approchable par des points du domaine poncturé ; si la fonction y admet une limite finie, il s'agit d'une singularité amovible. Plus généralement, dans un domaine du plan, un trou topologique est une composante connexe bornée du complémentaire, autour de laquelle certains lacets ne peuvent pas être contractés dans le domaine. La notion de trou est liée au nombre de connexité d'un ouvert et au théorème des résidus.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Reconnaître un trou comme une composante bornée du complémentaire d'un domaine plan.
- Tester la simple connexité avec un lacet entourant une zone absente.
- Vérifier le cas d'une couronne de rayons 1 et 3.
- Distinguer un trou topologique d'une singularité amovible.
En clair
Imaginez une couronne dessinée sur une feuille. On peut se déplacer partout dans la bande colorée, mais le disque blanc central reste inaccessible : c'est le trou. Un élastique posé autour de ce disque ne peut pas se resserrer jusqu'à un point sans quitter la couronne.
Le trou n'est donc pas seulement une zone blanche sur un dessin. Il se reconnaît à l'effet durable qu'il exerce sur les chemins fermés, appelés lacets, tracés dans l'ensemble.
Définition
Dans le plan complexe, on appelle domaine un ouvert connexe. Pour un domaine noté U, un trou est usuellement une composante connexe bornée de son complémentaire ℂ ∖ U. Le complémentaire rassemble les points absents de U ; ses composantes connexes sont ses morceaux séparés. Le caractère borné distingue un trou de la région extérieure, qui s'étend à l'infini.
Cette définition rejoint les lacets. Un domaine du plan est simplement connexe lorsque tout lacet qu'il contient peut être déformé continûment en un point sans sortir du domaine. Un lacet qui entoure un trou empêche cette contraction. Pour la couronne A formée des nombres complexes z dont le module est strictement compris entre 1 et 3, le complémentaire possède une composante bornée : le disque de rayon 1, bord compris. La couronne possède donc un trou.
En analyse complexe, le mot « trou » peut aussi décrire un point retiré du domaine d'une fonction alors qu'une valeur limite permettrait de la prolonger. Il s'agit alors d'une singularité amovible. Ce sens fonctionnel doit être distingué du trou topologique d'un domaine, même si tous deux reposent sur un point ou une région manquante.
Un exemple, pas à pas
On étudie une couronne du plan complexe. Les données sont les suivantes : le centre est l'origine ; le rayon intérieur vaut 1 ; le rayon extérieur vaut 3 ; le lacet test est le cercle de rayon 2 parcouru une fois dans le sens trigonométrique.
1. Le nombre complexe variable est noté z. La couronne A est définie par :
2. Le complémentaire de A contient le disque fermé de rayon 1 et la région située à partir du rayon 3. Le disque est borné, tandis que la région extérieure ne l'est pas. Il y a donc exactement un trou.
3. Le paramètre réel t varie de 0 à 2π. Le lacet rouge est défini par :
Il reste entièrement dans A, car son module vaut toujours 2.
4. Ce lacet fait un tour autour de l'origine. Son nombre d'enroulement vaut 1 ; celui d'un lacet constant vaut 0. Une déformation dans A ne peut pas changer ce nombre, donc le lacet ne se contracte pas en un point. Pour contrôler le verdict, tracez tout cercle de rayon strictement compris entre 1 et 3 : le même obstacle subsiste.
En pratique
Pour examiner un domaine dessiné dans le plan, regardez d'abord son complémentaire. Une région manquante bornée signale un trou ; la région extérieure non bornée ne se compte pas comme telle.
Quand la frontière est compliquée, testez des lacets. Si un lacet entourant la zone absente ne peut pas être resserré sans franchir cette zone, l'outil adapté est la simple connexité plutôt qu'un simple test de connexité.
Pour une fonction holomorphe autour d'un point isolé exclu, cherchez sa limite en ce point. Une limite complexe finie conduit à un prolongement holomorphe et à une singularité amovible ; une divergence exige une autre classification.
Dans une intégrale complexe sur un contour fermé, repérez les singularités encerclées et le nombre de tours du contour. Le théorème des résidus traduit alors cette géométrie en une valeur d'intégrale, sous ses hypothèses d'application.
À ne pas confondre
Trou et absence de connexité. Une couronne est connexe malgré son trou : deux de ses points peuvent être reliés dans la couronne. Deux disques séparés forment au contraire un ensemble non connexe, sans qu'une région enfermée soit nécessaire.
Trou et singularité amovible. Pour la variable complexe z, la fonction , définie hors du point z = 1, admet la limite 2 en ce point. La valeur 2 comble ce trou fonctionnel. Un pôle, lui, n'admet pas de limite complexe finie et ne se répare pas par une seule valeur.
Trou et point retiré quelconque. Retirer un point intérieur d'un intervalle réel le coupe en deux morceaux, tandis que retirer une extrémité appartenant à l'intervalle laisse le reste connexe. Retirer l'origine du plan laisse un ensemble connexe, mais crée un obstacle aux lacets. Le critère pertinent dépend donc de l'espace ambiant et de la propriété étudiée.
Limites et pièges
Ouvert non connexe. Compter les composantes bornées du complémentaire reste possible, mais les équivalences usuelles avec la simple connexité supposent un domaine, donc un ouvert connexe. Il faut d'abord traiter séparément chaque composante de l'ouvert.
Composante extérieure. Dans la couronne 1 < |z| < 3, le complémentaire a deux composantes, mais une seule est bornée. Compter les deux comme des trous confondrait la région extérieure avec la cavité centrale.
Trou réduit à un point. Le plan privé de l'origine a bien un trou topologique, même si la composante bornée de son complémentaire ne contient qu'un point. L'aire n'est pas le critère ; le comportement des lacets l'est.
Nombre de connexité. Pour un domaine plan à un nombre fini de trous, une convention courante appelle ordre de connexité le nombre de composantes du complémentaire dans la sphère, soit le nombre de trous augmenté de 1. Il faut annoncer la convention avant de donner ce nombre.
Pour aller plus loin
La fiche connexité - topologie - précise quand un espace forme un seul morceau, condition préalable aux critères de simple connexité.
La fiche Simplement connexe développe la contraction des lacets qui caractérise l'absence de trou dans un domaine plan.
La fiche Lacet formalise les chemins fermés utilisés pour détecter un obstacle topologique.
La fiche singularité distingue les comportements possibles d'une fonction complexe près d'un point exclu.
La fiche théorème des résidus relie les singularités encerclées par un contour au calcul d'intégrales complexes.
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