fonction logarithme complexe

Placez le nombre i en haut du cercle unité. Un tour complet autour de l’origine ramène au même point, mais ajoute 2π à l’angle parcouru. Ainsi, π/2, π/2 + 2π ou π/2 − 2π décrivent tous la direction de i.

Le logarithme complexe inscrit le logarithme de la distance à l’origine dans sa partie réelle et toutes ces mesures d’angle dans sa partie imaginaire. Il ne donne donc pas une valeur unique : les réponses se répètent avec un écart de 2πi. Choisir une détermination revient à retenir ces angles de façon cohérente sur une région du plan.

Pour un nombre complexe non nul z, un logarithme complexe de z est un nombre complexe w tel que e^w = z. Le module de z, noté |z|, est sa distance à l’origine. Un argument θ de z est un angle qui repère sa direction. Tous les logarithmes de z sont alors décrits par $\log z=\{\ln \mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }+i(\theta +2k\pi )\mid k\in \mathbb{Z}\}\backslash log\; z=\backslash \{\backslash ln\; |z|+i(\backslash theta+2k\backslash pi)\backslash mid\; k\backslash in\backslash mathbb\; Z\backslash \}$, où i est l’unité imaginaire et k un entier relatif. Ils ont tous la même partie réelle ln|z|, tandis que deux de leurs parties imaginaires diffèrent d’un multiple entier de 2π ; pour deux valeurs consécutives indexées par k, cet écart vaut 2π.

Une détermination du logarithme choisit une seule de ces valeurs en chaque point d’un domaine. C’est une fonction holomorphe $\mathrm{\Phi }\backslash Phi$ telle que $e^{\mathrm{\Phi }(z)}=ze^\{\backslash Phi(z)\}=z$. Elle vérifie alors l'équation différentielle $z{\mathrm{\Phi }}^{\mathrm{\prime }}(z)=1z\backslash Phi\text{'}(z)=1$. Réciproquement, sur un ouvert connexe ne contenant pas l'origine, une solution holomorphe de cette équation est une détermination dès qu'on lui impose la condition $e^{\mathrm{\Phi }(z_0)}=z_{0}e^\{\backslash Phi(z\_0)\}=z\_0$ en un point.

Sur tout ouvert connexe et simplement connexe ne contenant pas l'origine, il existe une telle détermination, unique à l’ajout d’une constante $2k\pi i2k\backslash pi\; i$ près (théorème d'unicité). En revanche, sur tout ouvert connexe contenant un lacet d'indice non nul autour de l'origine, aucune détermination continue n'existe, ce qui rend le logarithme complexe une fonction multivaluée. En langage courant, « connexe » signifie que la région forme un seul morceau ; « simplement connexe » signifie que toute boucle fermée peut s’y resserrer jusqu’à un point sans sortir de la région. Un disque ouvert qui évite l’origine est un exemple admissible. À l’inverse, une couronne centrée sur l’origine — la région comprise entre deux cercles concentriques — contient une boucle fermée qui fait le tour de l’origine : c’est le type de lacet d’indice non nul qui empêche un choix continu global.

Cette description peut aussi partir directement de la série exponentielle. Une fois Φ choisie, l’argument associé se récupère par $\arg (z)=-i(\mathrm{\Phi }(z)-\ln \mathrm{\mid }z\mathrm{\mid })\backslash arg(z)=-i(\backslash Phi(z)-\backslash ln|z|)$. Aucun logarithme complexe n’existe pour z = 0.

La structure repose sur cinq données liées. Le nombre z doit d’abord être non nul. Son module r = |z| fournit la partie réelle ln r du logarithme. Un argument θ fournit une première partie imaginaire. L’entier relatif k ajoute les tours complets : θ + 2kπ. Enfin, le facteur i transforme cette mesure d’angle en partie imaginaire du nombre obtenu.

Le module et l’argument dépendent tous deux de z, mais seul l’argument change quand k varie. Le choix d’un domaine relie ensuite les valeurs point par point : s’il est simplement connexe et évite l’origine, une détermination holomorphe peut y être construite. Ces données suffisent à calculer tous les logarithmes d’un nombre. Pour sélectionner une détermination sur un domaine admissible, il faut en plus choisir de façon cohérente une détermination continue de l’argument sur ce domaine.

On cherche tous les nombres w dont l’exponentielle vaut A = i. Les données sont les suivantes : le module de A vaut 1 ; un argument de A vaut π/2 ; k désigne un entier relatif. Chaque valeur obtenue sera contrôlée par exponentiation. Les solutions s’alignent sur l’axe imaginaire, avec un espacement constant que la représentation rend visible.

1. La partie réelle vaut ln 1 = 0.
2. Les arguments de i sont π/2 + 2kπ.
3. On obtient donc $w_k=i(\frac{\pi }{2}+2k\pi ),k\in \mathbb{Z}w\_k=i\backslash left(\backslash frac\{\backslash pi\}\{2\}+2k\backslash pi\backslash right),\backslash quad\; k\backslash in\backslash mathbb\; Z$.
4. Pour k = −1, 0 et 1, trois valeurs sont −3πi/2, πi/2 et 5πi/2.
5. Le contrôle donne $e^{w_k}=e^{i\pi \mathrm{/}2}{e}^{2ik\pi }=ie^\{w\_k\}=e^\{i\backslash pi/2\}e^\{2ik\backslash pi\}=i$. Le résultat est l’ensemble infini de ces valeurs, et deux valeurs consécutives diffèrent bien de 2πi.

Pour résoudre une équation e^w = A avec A non nul, on calcule ln|A|, puis un argument de A. On ajoute enfin 2kπ à cet angle pour ne perdre aucune solution. Une détermination choisit une valeur parmi ces solutions, mais l’équation e^w = A conserve toujours toute la famille indexée par k.

Pour travailler avec une fonction holomorphe, on examine le domaine avant de choisir les valeurs. S’il est connexe, simplement connexe et évite l’origine, on peut y poser une détermination. Si un lacet du domaine entoure l’origine avec un indice non nul, il faut changer de domaine plutôt que forcer une continuité impossible.

Pour obtenir une fonction argument cohérente sur ce domaine, on retranche ln|z| à la détermination Φ, puis on multiplie par −i. Ces opérations isolent la composante angulaire du logarithme. Sans choix de Φ, l’argument reste lui aussi défini à des multiples de 2π près.

Logarithme réel. Sur les réels strictement positifs, ln x désigne une unique valeur réelle. Comme logarithmes complexes, le même nombre x possède aussi ln x + 2kπi pour tout entier k. Le nombre 1 tranche nettement : ln 1 = 0 dans le cadre réel, mais ses logarithmes complexes sont tous les 2kπi.

Argument d’un nombre complexe. Un argument ne retient que la direction angulaire, à 2π près. Le logarithme complexe y ajoute l’information de taille ln|z|. Pour z = 2i, les arguments sont π/2 + 2kπ, tandis que les logarithmes sont ln 2 + i(π/2 + 2kπ).

Exponentielle complexe. L’exponentielle envoie w vers e^w ; le logarithme cherche les antécédents d’un nombre non nul. L’égalité e^w = i donne ainsi une infinité de logarithmes de i, alors qu’une valeur de w produit une seule exponentielle.

À l’origine. Le cas z = 0 est exclu : aucune valeur de l’exponentielle complexe n’est nulle. Chercher ln|0| ou un argument de 0 signale immédiatement le blocage. Il faut retirer l’origine du domaine.

Autour d’un lacet. Si le domaine connexe contient un lacet d’indice non nul autour de l’origine, une valeur suivie continûment revient décalée de 2πi après un tour. Aucune détermination continue globale n’y existe. Il faut restreindre le domaine à une région simplement connexe qui évite l’origine.

Valeur choisie ou ensemble des valeurs. Écrire « le logarithme » sans préciser la détermination peut masquer l’infinité des réponses. Pour i, πi/2 n’est qu’une valeur parmi πi/2 + 2kπi. Il faut annoncer le domaine et la détermination, ou conserver explicitement l’entier k.

Argument d'un nombre complexe — Pour approfondir la composante angulaire qui fournit la partie imaginaire du logarithme.

fonction exponentielle complexe — Pour préciser la fonction dont le logarithme complexe recherche les antécédents.

L'exponentielle complexe — Pour replacer l’inversion du logarithme dans une présentation développée de l’exponentielle complexe.