fonction exponentielle complexe

Imaginez un point décrit par deux nombres : l'un règle sa distance à l'origine, l'autre sa direction. L'exponentielle complexe transforme la partie réelle en facteur d'agrandissement et la partie imaginaire en angle de rotation.

Ainsi, ajouter un tour complet à l'angle ne change pas le résultat. Cette fonction réunit dans un même calcul la croissance de l'exponentielle réelle et le mouvement circulaire décrit par le cosinus et le sinus.

La fonction exponentielle complexe étend à l'ensemble des nombres complexes ℂ la fonction exponentielle réelle. Pour tout nombre complexe z, elle est définie par une série entière absolument convergente sur tout ℂ :

Si x et y désignent respectivement les parties réelle et imaginaire de z, donc z = x + iy, alors $e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y)e^\{x+iy\}=e^x(\backslash cos\; y+i\backslash sin\; y)$. Le nombre eˣ est le module du résultat, tandis que y en est un argument, mesuré en radians et défini à un multiple de 2π près. Pour un réel t, le cas z = it donne la formule d'Euler $e^{it}=\cos t+i\sin te^\{it\}=\backslash cos\; t+i\backslash sin\; t$. La fonction ne s'annule jamais, vérifie e^z+w = eᶻeʷ pour tous complexes z et w, et prend la même valeur en z et z + 2iπ. Elle est holomorphe sur tout ℂ, donc entière, et sa dérivée est elle-même.

Quatre éléments organisent l'exponentielle complexe. L'entrée z = x + iy comporte une partie réelle x et une partie imaginaire y. Le facteur positif eˣ fixe le module de la sortie. Le couple cos y et sin y place cette sortie sur le cercle unité, avec un angle y mesuré en radians. Leur produit donne le point final eˣ(cos y + i sin y).

La partie réelle et la partie imaginaire ont donc des rôles liés mais distincts : modifier x dilate ou contracte le module sans changer la direction, tandis que modifier y fait tourner la sortie sans changer son module. Ces données suffisent à calculer l'image de tout complexe. La couleur ou l'échelle choisies pour tracer le point ne font pas partie de la fonction.

Calculons l'exponentielle du nombre z = 1 + i. Les données sont sa partie réelle x = 1, sa partie imaginaire y = 1 radian, e ≈ 2,71828, cos 1 ≈ 0,54030 et sin 1 ≈ 0,84147.

1. Appliquons la forme cartésienne : $e^{1+i}=e(\cos 1+i\sin 1)e^\{1+i\}=e(\backslash cos\; 1+i\backslash sin\; 1)$.

2. Remplaçons le cosinus et le sinus par leurs valeurs arrondies : e¹⁺ⁱ ≈ e(0,54030 + 0,84147i).

3. Multiplions chaque coordonnée par e : e¹⁺ⁱ ≈ 1,46869 + 2,28736i. Dans le plan complexe, ce résultat est à la distance e de l'origine et fait un angle de 1 radian avec l'axe réel positif.

4. Contrôlons le module avec les valeurs non arrondies : $\mathrm{\mid }{e}^{1+i}\mathrm{\mid }=e\sqrt{{\cos }^{2}1+{\sin }^{2}1}=e|e^\{1+i\}|=e\backslash sqrt\{\backslash cos^2\; 1+\backslash sin^2\; 1\}=e$. Le module vaut donc exactement e, soit environ 2,71828 ; les petits écarts issus des décimales viennent seulement des arrondis.

Pour calculer une puissance ou une oscillation, l'écriture exponentielle remplace souvent un couple cosinus-sinus. On la préfère lorsque les angles s'ajoutent, car les exponentielles se multiplient directement.

Dans une équation différentielle linéaire, une solution de la forme e^λt transforme la dérivation en multiplication par le nombre complexe λ. La forme trigonométrique reste préférable si l'on veut lire séparément une amplitude et une phase réelles.

Pour représenter un nombre complexe non nul, chercher ses logarithmes revient à retrouver un module et tous les angles possibles. On utilise alors l'exponentielle en gardant la périodicité 2iπ, plutôt qu'en prétendant obtenir un antécédent unique.

Exponentielle complexe et exponentielle réelle. L'exponentielle réelle prend un réel et renvoie un réel strictement positif. L'exponentielle complexe accepte aussi une partie imaginaire : e^iπ = −1, valeur impossible pour l'exponentielle réelle.

Exponentielle complexe et logarithme complexe. L'exponentielle envoie un complexe vers un complexe non nul et elle est définie partout. Un logarithme complexe fait le chemin inverse, mais possède plusieurs valeurs : si θ désigne un angle et k un entier, les nombres i(θ + 2kπ) ont tous la même exponentielle e^iθ.

Exponentielle et argument d'un complexe. L'exponentielle est une fonction ; un argument est un angle associé à un complexe non nul. Pour z = x + iy, le nombre y fournit un argument de eᶻ, mais il n'est pas l'argument de z en général.

La fonction n'est pas injective. Les entrées z et z + 2kiπ, avec k entier, ont exactement la même image. Pour chercher un antécédent, il faut donc indiquer une branche d'argument ou accepter une infinité de solutions espacées de 2iπ.

Zéro n'est jamais atteint. Le module de e^x+iy vaut eˣ, qui est strictement positif pour tout réel x. Une équation eᶻ = 0 n'a donc aucune solution complexe, même si eˣ tend vers 0 lorsque x tend vers −∞.

Une approximation décimale masque les identités. Avec cos 1 et sin 1 arrondis, le module calculé n'est qu'approximativement e. Le contrôle exact doit employer l'identité cos² 1 + sin² 1 = 1 avant tout arrondi.

La période est imaginaire. Ajouter 2π à z ne conserve généralement pas eᶻ ; il faut ajouter 2iπ. En revanche, lorsque l'entrée est it avec t réel, remplacer t par t + 2π laisse bien e^it inchangé.

La fiche formule d'Euler isole le pont entre exponentielle imaginaire, cosinus et sinus.

La fiche série entière développe le mode de définition qui fait converger l'exponentielle sur tout ℂ.

La fiche fonction holomorphe précise le cadre de dérivabilité complexe dans lequel l'exponentielle est entière.

L'article Aux origines de l’analyse complexe replace ces outils dans l'histoire du domaine.