Type exponentiel (fonctions entières de)

Suivons la fonction sinus lorsqu'on lui donne des nombres complexes. Sur l'axe réel, sin(2x) reste entre −1 et 1. Dans certaines directions complexes, son module grandit pourtant comme une exponentielle. La fonction demeure entière : elle est définie et dérivable partout dans le plan complexe, sans pôle ni coupure.

Dire qu'elle est de type exponentiel signifie qu'une même enveloppe exponentielle borne cette croissance dans toutes les directions. Pour sin(2z), l'exposant 2 suffit et constitue même le plus petit taux possible.

Une fonction entière est une fonction holomorphe sur tout le plan complexe. Soit f une telle fonction et soit z un nombre complexe. La fonction f est de type exponentiel s'il existe une constante A strictement positive et une constante B positive ou nulle telles que, pour tout z, son module vérifie :

Les constantes ne sont pas uniques. Le type de f est l'infimum des taux B pour lesquels une constante A permet cette borne globale. Ainsi, sin(2z) est de type 2 : la borne de taux 2 fonctionne, et sa croissance sur l'axe imaginaire interdit tout taux inférieur. Les polynômes ont un type nul, car leur croissance reste en dessous de toute exponentielle de taux strictement positif. Sous les hypothèses d'intégrabilité ou de croissance propres à chaque version du théorème, la théorie de Paley-Wiener relie ce contrôle complexe aux transformées de Fourier de fonctions à support compact.

Prenons la fonction entière f définie par f(z) = sin(2z). Nous allons établir une borne globale, puis vérifier que le taux obtenu ne peut pas être diminué.

Données.
Fonction : f(z) = sin(2z).
Point complexe : z.
Sur l'axe imaginaire : z = iy, avec y réel.
Valeurs de contrôle : y = 0,5 ; 1 ; 1,5. Le graphique compare le module observé à l'enveloppe de taux 2.

Étape 1. L'écriture exponentielle du sinus donne, pour tout z, |sin(2z)| ≤ e^{2|Im z|} ≤ e^2|z|. La définition est donc satisfaite avec A = 1 et B = 2.

Étape 2. Sur l'axe imaginaire, le module vaut exactement |sin(2iy)| = sinh(2|y|). Pour y = 0,5 ; 1 ; 1,5, il vaut environ 1,175 ; 3,627 ; 10,018. Les bornes e^2|y| correspondantes valent environ 2,718 ; 7,389 ; 20,086.

Étape 3. Pour tout taux B strictement inférieur à 2, le quotient suivant devient arbitrairement grand lorsque y tend vers l'infini :

Résultat et contrôle. Aucun choix de A ne compense un taux B inférieur à 2 : le type exact est donc 2. À y = 1, on retrouve bien 3,627 ≤ 7,389.

Pour classer une fonction entière, on cherche d'abord une borne valable dans tout le plan complexe. Une estimation limitée à l'axe réel ne suffit pas. L'écriture en exponentielles est souvent préférable pour le sinus et le cosinus, car elle fait apparaître directement le taux de croissance.

Pour déterminer le type exact, une borne supérieure ne donne qu'un taux possible. On cherche ensuite une direction où la fonction croît presque aussi vite. Pour sin(2z), l'axe imaginaire fournit cette vérification et exclut tous les taux inférieurs à 2.

Dans un problème de Fourier, un théorème de Paley-Wiener adapté au cadre choisi traduit une information de support compact en une croissance exponentielle de l'extension entière. Si les hypothèses d'intégrabilité ou de régularité ne sont pas établies, il faut conserver l'estimation directe plutôt qu'invoquer cette correspondance.

Fonction entière et fonction analytique sur un domaine. Le type exponentiel concerne ici une fonction holomorphe sur tout le plan complexe. La fonction 1/(1 − z) est analytique près de 0, mais son pôle en z = 1 l'empêche d'être entière et donc d'entrer dans cette définition.

Type exponentiel et fonction exponentielle. Être de type exponentiel décrit une borne de croissance, pas une forme particulière. Le sinus complexe sin(2z) appartient à cette classe sans être une fonction z ↦ e^az. À l'inverse, e^z² est entière mais dépasse toute borne e^B|z| sur l'axe réel positif.

Croissance réelle et croissance complexe. La première n'établit pas la seconde. La fonction sin(2x) est bornée pour x réel, tandis que sin(2iy) croît comme e^2|y| sur l'axe imaginaire. Le critère doit être contrôlé dans toutes les directions complexes.

Une borne admise n'est pas nécessairement le type exact. Si A = 1 et B = 2 conviennent à sin(2z), tout taux supérieur à 2 convient aussi après conservation de la même borne. Il faut prendre l'infimum des taux admissibles, puis fournir une croissance témoin pour prouver sa minimalité.

Le cas charnière B = 0 est très restrictif. La borne devient |f(z)| ≤ A dans tout le plan. Le théorème de Liouville impose alors que f soit constante. Les polynômes non constants ont néanmoins un type nul au sens de l'infimum, sans qu'une borne de taux nul leur convienne.

Paley-Wiener n'est pas une équivalence sans hypothèses. Le lien précis dépend de la transformation de Fourier choisie et de la classe de fonctions ou de distributions considérée. Il faut annoncer la convention de Fourier, le support et les conditions sur l'axe réel avant d'identifier le type à une taille de support.

La fiche Transformée de Fourier précise l'outil auquel la théorie de Paley-Wiener relie croissance entière et support compact.