théorème de Riemann-Lebesgue

Imaginez une courbe qui alterne de plus en plus vite entre valeurs positives et négatives. On la multiplie par une fonction fixe, puis on additionne les aires signées obtenues sur un intervalle. À haute fréquence, une aire positive est presque compensée par l’aire négative voisine.

Le théorème de Riemann-Lebesgue affirme que ce bilan tend vers zéro pour toute fonction intégrable. La fonction fixe peut être irrégulière : son intégrabilité suffit sur l’intervalle considéré.

Le théorème de Riemann-Lebesgue est un résultat d’annulation asymptotique. On considère un intervalle fini dont les bornes réelles sont notées a et b, avec a < b, et une fonction f intégrable au sens de Lebesgue sur cet intervalle. Pour chaque entier positif n, on intègre le produit de f avec une oscillation de fréquence n.

Les deux suites d’intégrales tendent vers zéro : ${\int }_a^{b}f(t)\cos (nt)dt⟶0\backslash int\_a^b\; f(t)\backslash cos(nt)\backslash ,dt\; \backslash longrightarrow\; 0$ et ${\int }_a^{b}f(t)\sin (nt)dt⟶0\backslash int\_a^b\; f(t)\backslash sin(nt)\backslash ,dt\; \backslash longrightarrow\; 0$ lorsque n tend vers l’infini. Le résultat porte sur la valeur globale de l’intégrale, non sur la valeur du produit en chaque point.

En réunissant sinus et cosinus dans l’exponentielle complexe, on obtient l’énoncé correspondant pour les coefficients de Fourier : les coefficients d’une fonction intégrable tendent vers zéro quand l’indice part vers plus ou moins l’infini.

Si une fonction f est intégrable au sens de Lebesgue sur un intervalle fini [a, b], alors ses intégrales contre les oscillations sinusoïdales de fréquence entière n vérifient :

La conclusion est une limite : une intégrale particulière n’est pas nécessairement nulle, mais elle devient arbitrairement petite en valeur absolue quand la fréquence augmente.

Le cadre donné ici exige un intervalle [a, b] de longueur finie et une fonction f telle que l’intégrale de sa valeur absolue soit finie. La fonction peut avoir des discontinuités et n’a pas besoin d’être dérivable. La fréquence n parcourt les entiers positifs et tend vers l’infini ; on obtient alors la convergence vers zéro des deux intégrales oscillantes.

L’intégrabilité n’est pas un détail remplaçable par une simple existence ponctuelle. Sur l’intervalle (0, 1], la fonction f définie par f(t) = 1/t n’est pas intégrable au sens de Lebesgue. Son intégrale contre sin(nt) tend vers une limite non nulle. Le théorème ne s’applique donc pas ; il faut étudier séparément l’intégrale impropre et ses conditions de convergence.

On choisit la fonction constante f(t) = 1 sur l’intervalle [0, π]. Les données sont donc la borne gauche 0, la borne droite π et un entier positif n. Cette fonction est intégrable.

1. Pour le cosinus, une primitive de cos(nt) est sin(nt)/n. Aux deux bornes, le sinus vaut zéro. On obtient donc exactement ${\int }_0^{\pi }\cos (nt)dt=0\backslash int\_0^\backslash pi\; \backslash cos(nt)\backslash ,dt=0$ pour tout entier positif n.

2. Pour le sinus, une primitive de sin(nt) est −cos(nt)/n. L’évaluation aux bornes donne :

3. Le résultat vaut 0 lorsque n est pair et 2/n lorsque n est impair. Pour n = 5, cinq demi-ondes contribuent successivement 2/5, −2/5, 2/5, −2/5 et 2/5 : leur somme vaut 2/5.

4. Comme 0 ≤ |1 − (−1)ⁿ|/n ≤ 2/n et que 2/n tend vers zéro, l’intégrale de sinus tend elle aussi vers zéro. Le calcul direct confirme les deux conclusions du théorème.

Dans une série de Fourier, le théorème fournit un contrôle immédiat : si la fonction est intégrable, ses coefficients doivent tendre vers zéro. Si une suite de coefficients proposée ne le fait pas, elle ne peut pas être celle d’une telle fonction.

Pour une intégrale contenant une fréquence très grande, le résultat indique que l’ensemble devient petit sans demander de suivre chaque oscillation. Si l’on cherche une vitesse de décroissance, il faut employer des hypothèses de régularité et des outils plus fins, par exemple une intégration par parties lorsque celle-ci est justifiée.

Face à un calcul numérique très oscillant, cette limite sert aussi de contrôle qualitatif. Elle ne remplace pas une estimation d’erreur : une fréquence donnée peut encore produire une valeur sensible.

Avec la convergence d’une série de Fourier. Riemann-Lebesgue affirme seulement que les coefficients tendent vers zéro. Ce critère est nécessaire, mais il ne suffit pas à assurer que la série de Fourier converge en chaque point vers la fonction.

Avec une annulation exacte par orthogonalité. Deux sinusoïdes de fréquences entières distinctes peuvent avoir un produit d’intégrale exactement nulle sur une période adaptée. Pour une fonction intégrable quelconque, le théorème garantit seulement une annulation asymptotique : l’intégrale tend vers zéro lorsque la fréquence augmente, sans garantir qu’elle soit exactement nulle à chaque fréquence. Elle peut toutefois l’être pour certaines fréquences.

La limite ne donne aucune vitesse universelle. Pour une fonction seulement intégrable, le théorème dit que la valeur tend vers zéro, sans fournir un taux commun comme 1/n. Une estimation quantitative exige des propriétés supplémentaires de la fonction.

Le produit ne converge pas nécessairement point par point. À un point t fixé, sin(nt) peut continuer à osciller. C’est l’intégrale sur tout l’intervalle qui tend vers zéro ; il ne faut pas invoquer une convergence ponctuelle inexistante.

Une petite fréquence n’est pas couverte par l’asymptotique. Dans l’exemple, l’intégrale de sin(nt) vaut 2 pour n = 1, puis 2/5 pour n = 5. Seul le passage à des fréquences arbitrairement grandes impose la limite nulle.

La réciproque est fausse comme critère d’intégrabilité. Observer qu’une famille d’intégrales ou de coefficients tend vers zéro ne prouve pas à lui seul que la fonction de départ est intégrable. Il faut vérifier séparément que l’intégrale de sa valeur absolue est finie.

La série de Fourier montre où interviennent les coefficients dont Riemann-Lebesgue impose la décroissance vers zéro.

La Transformée de Fourier replace cette annulation dans un cadre où la fréquence varie continûment.

L’intégrale de Lebesgue précise l’hypothèse d’intégrabilité qui rend le théorème applicable aux fonctions irrégulières.