AnalyseFormule · Glossaire
formules d'Euler-Fourier
Formules permettant de calculer les coefficients d'une série de Fourier à partir de la fonction qu'elle représente. Pour une fonction f intégrable et périodique de période 2π, les coefficients de Fourier sont définis par : a₀ = (1/2π) ∫(−π à π) f(x) dx, aₖ = (1/π) ∫(−π à π) f(x) cos(kx) dx pour k ≥ 1, bₖ = (1/π) ∫(−π à π) f(x) sin(kx) dx pour k ≥ 1. Ces formules reposent sur l'orthogonalité des fonctions trigonométriques sur l'intervalle [−π, π]. Elles permettent de décomposer une fonction périodique en une somme de sinusoïdes de fréquences multiples de la fréquence fondamentale, décomposition qui est au cœur de l'analyse harmonique et du traitement du signal.
Sommaire
Ce que vous allez apprendre
- Identifier la fonction de a₀, aₖ et bₖ.
- Calculer les coefficients d’une fonction 2π-périodique sur un exemple vérifiable.
- Relier les coefficients à la série trigonométrique associée.
- Repérer les erreurs de période, de normalisation, de convention et de convergence.
En clair
Imaginez une courbe qui reproduit le même motif tous les 2π. Les formules d’Euler-Fourier la passent au crible avec des vagues simples : un niveau constant, puis des cosinus et des sinus de plus en plus rapides.
Chaque intégrale mesure la présence d’une de ces vagues dans le motif. Un coefficient élevé signale une composante marquée ; un coefficient nul indique qu’elle est absente. Pour la courbe donnée par 1 + 2 cos(x), le calcul retrouve seulement le niveau 1 et un cosinus d’amplitude 2.
Définition
Les formules d’Euler-Fourier associent des nombres à une fonction périodique afin de construire sa série trigonométrique. On considère une fonction intégrable, notée f, dont la période vaut 2π. Le coefficient constant, noté a0, est la valeur moyenne de f sur une période. Pour chaque entier k au moins égal à 1, ak mesure sa composante en cosinus de fréquence k, et bk sa composante en sinus de même fréquence.
Les facteurs 1/(2π) et 1/π compensent la longueur et la norme des fonctions utilisées. L’orthogonalité fait disparaître, lors de l’intégration, les produits entre fréquences différentes. Avec cette convention, la série associée commence par a0, et non par a0/2. Pour une période différente de 2π, il faut adapter l’intervalle d’intégration et les fréquences.
Le principe
Si une fonction f est intégrable et 2π-périodique, alors ses coefficients s’obtiennent en intégrant f contre 1, cos(kx) et sin(kx) sur [−π, π], avec les facteurs de normalisation indiqués dans la définition.
La série trigonométrique associée s’écrit : .
Le rang k identifie un multiple entier de la fréquence fondamentale. Les coefficients donnent toujours la série associée ; des hypothèses supplémentaires sont nécessaires pour affirmer comment cette série converge vers la fonction.
Quand l'utiliser
L’application directe exige une fonction intégrable sur [−π, π] et répétée avec la période 2π. Il faut connaître ses valeurs sur une période complète. Pour chaque entier k ≥ 1, les intégrales produisent deux coefficients ; l’intégrale sans sinus ni cosinus produit le terme moyen a0.
Une fonction de période 4π constitue un contre-cas concret : employer cos(kx) sur [−π, π] ne décrit pas une période entière et les formules données ne s’appliquent pas telles quelles. Il faut soit ramener la variable à une période 2π, soit utiliser les formules adaptées à la période 4π. L’intégrabilité suffit au calcul des coefficients, mais pas à garantir une égalité ponctuelle partout entre la fonction et sa série.
Un exemple, pas à pas
Considérons la fonction 2π-périodique dont un motif est défini par sur [−π, π]. Nous allons retrouver ses composantes à partir des intégrales.
Données
La période vaut 2π. Le terme constant annoncé vaut 1, le cosinus de rang 1 a pour amplitude 2, et aucun sinus n’apparaît dans l’expression. Ces observations seront contrôlées par le calcul.
Calcul
1. La moyenne est .
2. Pour le premier cosinus, l’intégrale de cos(x) est nulle et celle de cos2(x) vaut π : .
3. Pour tout entier k ≥ 2, l’orthogonalité donne ak = 0.
4. La fonction est paire tandis que sin(kx) est impaire, donc bk = 0 pour tout k ≥ 1.
2. Pour le premier cosinus, l’intégrale de cos(x) est nulle et celle de cos2(x) vaut π : .
3. Pour tout entier k ≥ 2, l’orthogonalité donne ak = 0.
4. La fonction est paire tandis que sin(kx) est impaire, donc bk = 0 pour tout k ≥ 1.
La série obtenue est exactement 1 + 2 cos(x). Le contrôle consiste à la réévaluer en x = 0 : elle vaut 3, comme la fonction initiale. Une représentation d’une période met en évidence la ligne moyenne de hauteur 1 et l’oscillation de hauteur 2 autour de cette moyenne.
En pratique
Pour analyser un signal périodique, on calcule les coefficients puis on compare leurs valeurs absolues. Les rangs dominants révèlent les fréquences les plus présentes. Si le signal ne se répète pas, une transformée de Fourier convient mieux que cette série périodique.
Pour reconstruire numériquement une courbe, on conserve un nombre fini de rangs. On augmente ce nombre tant que les détails visibles changent encore ; on s’arrête lorsque l’approximation répond à la précision recherchée.
Pour exploiter une symétrie, on observe d’abord le motif autour de zéro. Une fonction paire annule tous les coefficients de sinus ; une fonction impaire annule le terme moyen et les coefficients de cosinus. Sans symétrie identifiable, il faut calculer les deux familles.
À ne pas confondre
Coefficients de Fourier et série de Fourier. Les coefficients ak et bk sont des nombres obtenus par intégration ; la série est la somme de fonctions construite avec eux. Dans l’exemple 1 + 2 cos(x), 1 et 2 sont des coefficients, tandis que l’expression complète est la série.
Série de Fourier et transformée de Fourier. La série traite ici un motif périodique et produit des fréquences entières discrètes. Un signal non périodique sur toute la droite appelle plutôt une transformée, dont la fréquence varie continûment.
Formules d’Euler-Fourier et formule d’Euler. La formule d’Euler relie une exponentielle complexe au cosinus et au sinus. Les formules d’Euler-Fourier sont les intégrales qui extraient les coefficients : calculer a1 ou b1 tranche immédiatement entre les deux notions.
Limites et pièges
Intégrable ne signifie pas convergente partout. Les intégrales définissent bien les coefficients, mais la série peut ne pas retrouver la valeur de la fonction en chaque point. Il faut étudier séparément le mode de convergence au lieu de remplacer automatiquement la série par la fonction.
Le rang zéro suit une règle distincte. Le cas charnière est k = 0 : a0 porte le facteur 1/(2π), tandis que ak et bk portent 1/π dès k = 1. Employer une formule unique double par erreur le terme moyen.
Les conventions changent selon les ouvrages. Ici, la série commence par a0. Ailleurs, le coefficient constant peut être défini avec 1/π et la série commencer par a0/2. Il faut vérifier ensemble la définition du coefficient et la forme de la série.
Une somme tronquée reste une approximation. Conserver seulement les rangs jusqu’à un entier N supprime toutes les fréquences supérieures. Si des détails persistent lorsque N augmente, il faut ajouter des coefficients plutôt que conclure que la formule est inexacte.
Pour aller plus loin
série de Fourier — Pour relier les coefficients calculés à la somme trigonométrique qu’ils construisent.
analyse harmonique — Pour situer cette décomposition dans l’étude générale des fréquences.
À la base du traitement du signal — Pour voir comment la décomposition fréquentielle intervient dans l’analyse des signaux.
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