La géométrie, monde de formes idéales créé par les mathématiciens grecs, a subi une mutation analytique avec l’introduction des coordonnées au XVIIe siècle, notamment par René Descartes. En 1804, Bernard Bolzano introduit des éléments précurseurs du calcul vectoriel, qui sera établi par Giusto Bellavitis (1803–1880) avec son « calcul de l’équipollence ». La définition moderne des espaces vectoriels donnée par Giuseppe Peano est développée au début du XXe siècle par des mathématiciens comme le Polonais Stefan Banach et le Hongrois Frigyes Riesz. Ils fondent l’analyse fonctionnelle, dans laquelle les fonctions jouent le rôle des vecteurs.
Une géométrie des fonctions -------------------------------
À cette époque, John von Neumann crée les espaces de Hilbert, espaces fonctionnels qui peuvent être de dimension infinie. Cette structure fondamentale s’applique aussi bien à des vecteurs en géométrie de toute dimension qu’à des ensembles de suites, de polynômes ou de solutions d’équations différentielles. Ces espaces bénéficient des fonctionnalités et du vocabulaire de la géométrie vectorielle, et sont donc pourvus d’un produit scalaire (voir encadré). On ne considérera que des espaces euclidiens, à savoir des espaces vectoriels sur le corps des nombres réels.
Les fonctions, vecteurs de ces espaces fonctionnels, doivent être stables par combinaison linéaire. C’est le cas, par exemple, des fonctions continues : si f et g sont deux telles fonctions et α et β deux réels, alors α f + βg est elle-même une fonction continue. L’intégration, opération linéaire qui fait correspondre à une fonction un scalaire, est une bonne candidate pour définir un produit scalaire. On obtient par exemple un produit scalaire sur l’ensemble des fonctions numériques, continues et intégrables sur un intervalle I du corps des réels avec la forme bilinéaire symétrique⟨f ∣ g⟩=∫If(t) g(t) dt.\langle f\, | \, g \rangle = \int_{\text{I}} f (t)\, g(t)\, dt .