Les triplets de nombres réels se retrouvent dans le paysage des trinômes du second degré, où on ne les attendait pas forcément. Pour s'en convaincre, donnons-nous un polynôme P(x) = a x2 + b x + c. Ce dernier est entièrement défini par les coefficients a, b et c, qui forment donc un triplet de l'espace. L'addition de deux trinômes correspond à l'addition des triplets. De même, la multiplication d'un trinôme P par un scalaire coïncide avec la multiplication du trinôme représentant P par ce scalaire. Autrement dit, l'espace des trinômes du second degré et l'espace usuel sont isomorphes. Il est ainsi possible d'associer à la base {i→,j→,k→}\{ \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k} \} = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} de l'espace une base {I, J, K} de l'espace des trinômes : I est le polynôme qui à x associe x2, soit I(x) = x2 ; de même, J(x) = x et K(x) = 1. Ceci permet d'écrire formellement P = a I + b J + c K, ce qui est analogue à l'écriture
V→=ai→+bj→+ck→.\overrightarrow{V}= a \overrightarrow{i} + b \overrightarrow{j} + c \overrightarrow{k}.
Même si on ne peut pas donner à cette décomposition de P le même sens géométrique, elle garde son sens algébrique et le dessin est toujours valide. Ces remarques peuvent sembler une curiosité sans grand intérêt. En fait, elles permettent de transférer les propriétés de l'espace usuel à celui des trinômes. Là est l'intérêt de l'abstraction ! On peut raisonner sur les polynômes comme sur des vecteurs.
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Jouer sur les bases de trinômes -------------------------------