Les espaces vectoriels

L a notion d'espace vectoriel voit le jour progressivement tout au long du XIXe siècle, dans le but de formaliser l'espace qui nous environne. Des précurseurs visionnaires ont permis ce changement de point de vue en introduisant les bonnes notions de « base », de « dimension », de « déterminant », d' « application linéaire »… L'algèbre linéaire est devenue le cadre d'étude de nombreuses théories, en particulier en analyse. Aujourd'hui, avec le développement de l'outil informatique, l'algèbre linéaire s'implémente plus aisément grâce au calcul matriciel.

Peut-on traiter la géométrie comme une branche de l'algèbre ? C'est l'enjeu de l'usage des espaces vectoriels. Les retombées sont spectaculaires : « algébriser » la géométrie permet de revisiter la plus ancienne des sciences, de la généraliser à des contextes inattendus ou plus abstraits, de gagner en rigueur, d'adopter une démarche plus systématique et calculatoire, de repenser la notion d'espace, et de découvrir de nouveaux résultats ! Cette nouvelle « mathématique sans figures », conserve l'intuition géométrique, mais va bien au-delà… En étendant la notion de distance introduite par les espaces euclidiens, l'introduction des espaces vectoriels normés, qui permet d'élargir le champ des espaces vectoriels à l'analyse fonctionnelle, débouche sur une nouvelle moisson de résultats et d'applications.

Que nous apportent les vecteurs et les espaces vectoriels au-delà d'une présence, comme toutes les structures mathématiques, un peu partout autour de nous ? Une ouverture et un enrichissement de notre approche de nombreux domaines, illustrés par quelques exemples saisissants, où ce changement a opéré une véritable révolution, accentuée par l'avènement de puissants outils de calcul ! Le « dessin vectoriel » en matière de graphisme, les sommes faramineuses de textes ou de corpus en littérature… Et Yannis Xenakis en personne a même ouvert la voie à d'intéressantes techniques « vectorielles » en matière de composition musicale…