La geometria, mondo di forme ideali creato dai matematici greci, subì una svolta analitica con l’introduzione delle coordinate nel 17º secolo, in particolare per opera di René Descartes. Nel 1804 Bernard Bolzano introdusse elementi precursori del calcolo vettoriale, che fu formalizzato da Giusto Bellavitis (1803–1880) con il suo «calcolo dell’equipollenza». La definizione moderna degli spazi vettoriali data da Giuseppe Peano fu sviluppata all’inizio del 20º secolo da matematici come il polacco Stefan Banach e l’ungherese Frigyes Riesz. Essi fondarono l’analisi funzionale, nella quale le funzioni svolgono il ruolo dei vettori.
Una geometria delle funzioni
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In quell’epoca John von Neumann elaborò gli spazi di Hilbert, spazi funzionali che possono avere dimensione infinita. Questa struttura fondamentale si applica tanto ai vettori geometrici, in qualunque dimensione, quanto a insiemi di successioni, polinomi o soluzioni di equazioni differenziali. Questi spazi godono degli strumenti e del vocabolario della geometria vettoriale e sono quindi dotati di un prodotto scalare (vedi riquadro). Considereremo soltanto spazi euclidei, cioè spazi vettoriali sul campo dei numeri reali.
Le funzioni, vettori di questi spazi funzionali, devono essere stabili rispetto alle combinazioni lineari. È il caso, per esempio, delle funzioni continue: se f e g sono due funzioni di questo tipo e α e β sono due numeri reali, allora α f + βg è anch’essa una funzione continua. L’integrazione, operazione lineare che associa a una funzione uno scalare, è una buona candidata per definire un prodotto scalare. Si ottiene così, per esempio, un prodotto scalare sull’insieme delle funzioni numeriche continue e integrabili su un intervallo I del campo dei reali mediante la forma bilineare simmetrica
