Se vi viene data una successione che inizia con 2, 4, 132, 2 192, 16 390, 78 132, 279 944, 823 552, 2 097 162, 4 782 980, come si trova il termine successivo? Il trucco consiste nel calcolare la differenza fra due termini consecutivi, poi nel ripetere l’operazione con i nuovi numeri ottenuti. Ci si ferma non appena una riga contiene un unico termine (qui è la riga 7, che contiene soltanto il termine 5 040). Si deduce che si tratta dei valori assunti da un polinomio di grado 7.
Come trovare, ora, il termine successivo?
Ogni termine si ottiene calcolando la differenza tra il termine
direttamente soprastante e quello in alto a sinistra.
La colonna rossa si riempie dal basso verso l’alto, a partire
da 5 040, fino a ottenere il numero cercato, 10 000 012.
Basta propagare le differenze:
35 280 = 30 240 + 5 040,
poi 142 800 = 107 520 + 35 280,
quindi 436 800 = 294 000 + 142 800,
da cui 1 119 006 = 682 206 + 436 800,
seguito da 2 531 214 = 1 412 208 + 1 119 006,
che porta a 5 217 032 = 2 685 818 + 2 531 214,
e infine 10 000 012 = 4 782 980 + 5 217 032.
Per completare la tabella si eseguono soltanto addizioni, nonostante l’elevato grado del polinomio: è il metodo delle differenze finite. Queste osservazioni suggerirono a Charles Babbage (1791–1871) l’idea della macchina alle differenze.
