Di quali strumenti di calcolo disponiamo, con o senza computer? Nel campo dei numeri reali, come in quello dei numeri complessi o persino in altri più astratti, sappiamo eseguire quattro operazioni elementari: addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione. Se entra in gioco una variabile x, arriviamo alle frazioni razionali, cioè ai polinomi e ai loro quozienti. A questo punto sorge la domanda: si può sostituire una funzione qualsiasi con un polinomio?
Dall’approssimazione di una funzione
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Posta in tutta la sua generalità, la risposta è naturalmente negativa. Occorre imporre condizioni alla funzione e al suo dominio di definizione. Al matematico tedesco Karl Weierstrass si deve il teorema più semplice in materia: una funzione f continua su un segmento [a, b] può essere approssimata quanto si vuole da un polinomio P.
