Fin dalla comparsa delle equazioni differenziali, nel 18º secolo, nell’ambito della risoluzione di problemi fisici, si è cercata una soluzione approssimata mediante un metodo numerico. Il primo metodo di questo tipo si deve a Leonhard Eulero e risale agli anni Sessanta del Settecento.
Un metodo dovuto a Eulero -----------------------
Consideriamo l’equazione differenziale y’ = f (x, y) sull’intervallo [a, b] con la condizione iniziale y (a) = y*0, dove y0 è dato (per esempio dalla fisica del problema considerato, da una condizione al contorno nota…). La funzione f è una funzione di due variabili e y è naturalmente la funzione incognita, dipendente dalla variabile x. In realtà, la scrittura «y’ = f (x, y)» riassume tutte le uguaglianze y’(x) = f (x, y(x)), con x appartenente a [a, b]. La funzione f deve essere «sufficientemente regolare» affinché l’equazione ammetta un’unica soluzione. In generale, la continuità non basta.
Per esempio, sull’intervallo I = [0, 100], l’equazione differenziale y’ = 3y2/3, che si può scrivere y′=y23,y' = \sqrt[3]{y^2}, con la condizione iniziale y (0) = 0, ammette due soluzioni: y(t) = 0 (la funzione nulla) e y (t) = t3 (la funzione cubica) per t appartenente a I. Esistono teoremi generali che forniscono condizioni sufficienti su f per garantire l’esistenza e l’unicità della soluzione.