Il calcolo integrale risale agli antichi greci. Nel 4º secolo avanti Cristo, Eudosso di Cnido fu tra i primi a calcolare le aree mediante approssimazioni successive per difetto e per eccesso, usando il metodo di esaustione (vedi Le Calcul intégral, Bibliothèque Tangente 50, 2014). Per approssimare il numero π, i Greci — con Archimede in testa — inscrivevano in una circonferenza un poligono di cui sapevano calcolare l’area, poi ne tracciavano un secondo all’esterno. Allo stesso modo, per calcolare volumi complessi come quello di una piramide, li «tagliavano a fette sottili». Il calcolo differenziale, invece, studia la velocità con cui cambiano le grandezze. Benché sia l’inverso del calcolo integrale, comparve solo duemila anni più tardi.
La sottotangente
----------------
Florimond de Beaune (1601–1652), giurista e consigliere al Parlamento di Blois (Loir-et-Cher), fu tra i primi commentatori della La Géométrie di Cartesio. Nel corso della sua corrispondenza con René Descartes e Marin Mersenne, propose un problema: determinare una curva a partire da una proprietà della sua tangente. Ben presto la questione fu trasformata in quella di trovare una curva la cui sottotangente fosse costante in ogni punto (problema di Florimond de Beaune). Cartesio non riuscì a trovare un metodo generale e ne propose una costruzione meccanica, senza poterne dare un’espressione algebrica. La «curva logaritmica» fu conosciuta dai matematici solo verso la fine del 17º secolo (vedi il nostro dossier «Les merveilles des logarithmes», Tangente 177, 2017), per esempio grazie ai lavori di Christian Huygens, che diede il proprio nome a questa curva, oscillando tra «curva logaritmica» e «curva logistica».
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716) diede una soluzione al problema in una memoria pubblicata nel 1684, che pose le basi del calcolo differenziale. Vi mostrò la potenza di questo nuovo strumento, precisando che il suo metodo si applica a tutte le curve, algebriche e trascendenti. Permise in particolare di risolvere quello che egli riconosceva come «il problema inverso delle tangenti».
Profondamente ispirato da Pascal, Leibniz definisce anzitutto il «triangolo» caratteristico (qui nella presentazione, un po’ più accessibile, di Guillaume de l’Hospital). M è un punto della curva. (MT) è la tangente alla curva in M, che incontra l’asse in T, e m è un punto della curva «infinitamente vicino» a M. Il segmento [Mm] è dunque «quasi coincidente» con il piccolo arco di curva .
