El cálculo integral se remonta a la antigua Grecia. En el 4º siglo antes de nuestra era, Eudoxo de Cnido fue uno de los primeros en calcular áreas mediante acotaciones sucesivas, utilizando la técnica de agotamiento (véase Le Calcul intégral, Bibliothèque Tangente 50, 2014). Para acotar el número π, los griegos —con Arquímedes a la cabeza— inscribían en una circunferencia un polígono cuya área sabían calcular, y después dibujaban un segundo polígono fuera de ella. Del mismo modo, para calcular volúmenes complejos como el de una pirámide, los «cortaban en finas láminas». El cálculo diferencial, por su parte, estudia los ritmos de variación de las cantidades. Aunque es recíproco del cálculo integral, no apareció hasta dos mil años después.
La subtangente
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Florimond de Beaune (1601–1652), jurista y consejero del Parlamento de Blois (Loir-et-Cher), fue uno de los primeros comentaristas de La Géométrie de Descartes. En un momento de su correspondencia con René Descartes y Marin Mersenne, planteó un problema: determinar una curva a partir de una propiedad de su tangente. Esta cuestión se transformó rápidamente en la de encontrar una curva cuya subtangente fuera constante en todos sus puntos (problema de Florimond de Beaune). Descartes no logró encontrar un método general y propuso una construcción mecánica, pues no podía dar una expresión algebraica. La «curva logarítmica» no fue conocida por los matemáticos hasta finales del 17º siglo (véase nuestro dosier «Las maravillas de los logaritmos», Tangente 177, 2017), gracias, por ejemplo, a los trabajos de Christian Huygens, quien dio nombre a esta curva, aunque dudó entre «curva logarítmica» y «curva logística».
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716) dio una solución al problema en una memoria publicada en 1684 que sentó las bases del cálculo diferencial. En ella mostró la potencia de esta nueva herramienta y precisó que su método se aplicaba a todas las curvas, tanto algebraicas como trascendentes. Permitía resolver, en particular, lo que reconocía como «el problema inverso de las tangentes».
Muy inspirado por Pascal, Leibniz define en primer lugar el «triángulo» característico (aquí, en la presentación de Guillaume de l’Hospital, algo más asequible). M es un punto de la curva. (MT) es la tangente a la curva en M, que corta el eje en T, y m es un punto de la curva «infinitamente próximo» a M. Por tanto, el segmento [Mm] es «prácticamente coincidente» con el pequeño arco de curva .
