Desde la aparición de las ecuaciones diferenciales, en el 18.º siglo, en el marco de la resolución de problemas físicos, surgió la búsqueda de una solución aproximada mediante un método numérico. El primer método de este tipo se debe a Leonhard Euler y data de la década de 1760.
Un método de Euler -----------------------
Consideremos la ecuación diferencial y’ = f (x, y) en el intervalo [a, b] con la condición inicial y (a) = y*0, donde y0 viene dado (por ejemplo, por la física del problema considerado o por una condición de contorno conocida…). La función f es una función de dos variables y y es, por supuesto, la función que se busca, que depende de la variable x. En realidad, la escritura «y’ = f (x, y)» resume todas las igualdades y’(x) = f (x, y(x)), donde x pertenece a [a, b]. La función f debe ser «suficientemente regular» para que la ecuación admita una solución única. En general, la continuidad no basta.
Por ejemplo, en el intervalo I = [0, 100], la ecuación diferencial y’ = 3y2/3, que puede escribirse y′=y23,y' = \sqrt[3]{y^2}, con la condición inicial y (0) = 0, admite dos soluciones: y(t) = 0 (la función nula) e y (t) = t3 (la función cúbica) para t perteneciente a I. Existen teoremas generales que dan condiciones suficientes sobre f para garantizar la existencia y unicidad de la solución.